ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / задание для интересующихся математикой - 10

10. Решим неравенство: $$\log_4 x - \log_x 4 \leqslant \frac{3}{2}$$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Аргумент и основание логарифма должны быть положительными, при этом основание не должно равняться единице: $$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$$ Таким образом, $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$. **2. Замена переменной:** Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_x 4 = \frac{1}{\log_4 x}$. Пусть $t = \log_4 x$, причём $t \neq 0$ (так как $x \neq 1$). Тогда исходное неравенство принимает вид: $$t - \frac{1}{t} \leqslant \frac{3}{2}$$ **3. Решение неравенства относительно $t$:** Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём дробь к общему знаменателю: $$t - \frac{1}{t} - \frac{3}{2} \leqslant 0$$ $$\frac{2t^2 - 3t - 2}{2t} \leqslant 0$$ Разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение: $$2t^2 - 3t - 2 = 0$$ $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$ $$t_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2$$ Получаем: $$\frac{(2t + 1)(t - 2)}{2t} \leqslant 0$$ Применим метод интервалов: - Нули числителя: $t = -\frac{1}{2}$, $t = 2$ (входят в решение); - Нули знаменателя: $t = 0$ (выколотая точка). Расставим знаки на интервалах: - при $t \in (-\infty; -1/2]$ выражение $\leqslant 0$; - при $t \in [-1/2; 0)$ выражение $> 0$; - при $t \in (0; 2]$ выражение $\leqslant 0$; - при $t \in [2; +\infty)$ выражение $\geqslant 0$. Следовательно, решением для $t$ является: $$t \leqslant -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad 0 < t \leqslant 2$$ **4. Обратная замена:** Рассмотрим оба случая, учитывая, что основание логарифма $4 > 1$, то есть логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: 1) $t \leqslant -\frac{1}{2}$: $$\log_4 x \leqslant -\frac{1}{2}$$ Учитывая ОДЗ ($x > 0$): $$0 < x \leqslant 4^{-\frac{1}{2}}$$ $$0 < x \leqslant \frac{1}{\sqrt{4}}$$ $$0 < x \leqslant \frac{1}{2}$$ 2) $0 < t \leqslant 2$: $$0 < \log_4 x \leqslant 2$$ $$\log_4 1 < \log_4 x \leqslant \log_4 16$$ $$1 < x \leqslant 16$$ Объединяя найденные промежутки, получаем итоговое решение: $$x \in \left(0; \frac{1}{2}\right] \cup (1; 16]$$ Ответ: $0 < x \leqslant \frac{1}{2}, \quad 1 < x \leqslant 16$.