ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / задание для интересующихся математикой - 12

Решим неравенство: $$ \log_{\frac{1}{1+x^2}}(4x-2) > -1 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Для существования логарифма должны выполняться условия: 1) Выражение под знаком логарифма строго положительно: $4x - 2 > 0 \implies 4x > 2 \implies x > \frac{1}{2}$. 2) Основание логарифма положительно и не равно единице: $1 + x^2 \ge 1 > 0$ при всех действительных $x$, поэтому дробь $\frac{1}{1+x^2} > 0$ всегда. $\frac{1}{1+x^2} \ne 1 \implies 1 + x^2 \ne 1 \implies x^2 \ne 0 \implies x \ne 0$. Так как из первого условия $x > \frac{1}{2}$, условие $x \ne 0$ выполняется автоматически. Таким образом, ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$. **2. Анализ основания логарифма:** При $x > \frac{1}{2}$ имеем: $$ x^2 > \frac{1}{4} \implies 1 + x^2 > \frac{5}{4} > 1 $$ Следовательно: $$ 0 < \frac{1}{1+x^2} < 1 $$ Так как основание логарифма лежит в интервале $(0; 1)$, функция $y = \log_{\frac{1}{1+x^2}} t$ является строго убывающей. **3. Решение неравенства:** Представим число $-1$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{1+x^2}$: $$ -1 = \log_{\frac{1}{1+x^2}}\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{1+x^2}}(1+x^2) $$ Исходное неравенство принимает вид: $$ \log_{\frac{1}{1+x^2}}(4x-2) > \log_{\frac{1}{1+x^2}}(1+x^2) $$ Так как основание логарифма меньше $1$, переходим к подлогарифмическим выражениям, меняя знак неравенства на противоположный: $$ 4x - 2 < 1 + x^2 $$ Перенесём все слагаемые в одну сторону: $$ x^2 - 4x + 3 > 0 $$ Разложим квадратный трёхчлен на множители: $$ (x - 1)(x - 3) > 0 $$ Решением этого неравенства является: $$ x < 1 \quad \text{или} \quad x > 3 $$ **4. Учёт ОДЗ:** Пересечём полученное решение с областью допустимых значений $x > \frac{1}{2}$: $$ \begin{cases} x > \dfrac{1}{2} \\ \left[\begin{gathered} x < 1 \\ x > 3 \end{gathered}\right. \end{cases} \implies \frac{1}{2} < x < 1 \quad \text{или} \quad x > 3 $$ Ответ: $\frac{1}{2} < x < 1, \quad x > 3$ (или в виде интервалов: $\left(\frac{1}{2}; 1\right) \cup (3; +\infty)$).