ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 38

38. Решим неравенство с параметром $a$: $$ \log_{x-a} 2 > 1 $$ Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы: $$ \begin{cases} x - a > 0, \\ x - a \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > a, \\ x \neq a + 1 \end{cases} $$ Представим единицу в правой части как логарифм по основанию $(x - a)$: $$ \log_{x-a} 2 > \log_{x-a} (x - a) $$ Знак неравенства при переходе к подлогарифмическим выражениям зависит от того, больше основание единицы или меньше. Рассмотрим два случая: 1. Основание больше $1$ (функция $y = \log_{x-a} t$ возрастает): $$ \begin{cases} x - a > 1, \\ 2 > x - a \end{cases} \iff \begin{cases} x - a > 1, \\ x - a < 2 \end{cases} \iff 1 < x - a < 2 $$ Прибавим $a$ ко всем частям двойного неравенства: $$ a + 1 < x < a + 2 $$ 2. Основание лежит в интервале от $0$ до $1$ (функция $y = \log_{x-a} t$ убывает): $$ \begin{cases} 0 < x - a < 1, \\ 2 < x - a \end{cases} \iff \begin{cases} 0 < x - a < 1, \\ x - a > 2 \end{cases} $$ Данная система не имеет решений, так как интервалы $(0; 1)$ и $(2; +\infty)$ не пересекаются. Объединяя результаты рассмотренных случаев, получаем: $$ x \in (a + 1; a + 2) $$ Ответ: $(a + 1; a + 2)$ при $a \in \mathbb{R}$.