ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 1 - 33

33. Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_{7} \log_{\frac{1}{3}} \log_{8} x > 0 $$ Представим число $0$ в правой части в виде логарифма по основанию $7$: $0 = \log_{7} 1$. Неравенство примет вид: $$ \log_{7} \left( \log_{\frac{1}{3}} \log_{8} x \right) > \log_{7} 1 $$ Так как основание логарифма $7 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ \log_{\frac{1}{3}} \log_{8} x > 1 $$ Заметим, что условие положительности аргумента внешнего логарифма $\log_{\frac{1}{3}} \log_{8} x > 0$ выполняется автоматически, так как данное выражение строго больше $1$. Представим $1$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$: $1 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$. Получаем: $$ \log_{\frac{1}{3}} \log_{8} x > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} $$ Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{3}} t$ убывает. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный, при этом аргумент должен быть строго больше нуля: $$ 0 < \log_{8} x < \frac{1}{3} $$ Представим границы двойного неравенства в виде логарифмов по основанию $8$: - $0 = \log_{8} 1$ - $\frac{1}{3} = \log_{8} \left(8^{\frac{1}{3}}\right) = \log_{8} \sqrt[3]{8} = \log_{8} 2$ Получаем: $$ \log_{8} 1 < \log_{8} x < \log_{8} 2 $$ Так как основание $8 > 1$, функция $y = \log_{8} x$ возрастает: $$ 1 < x < 2 $$ Условие существования самого внутреннего логарифма ($x > 0$) при этом также выполняется. Ответ: $x \in (1; 2)$.