ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 1 - 36

36. 6) Решим неравенство: $$ \log_{a} x > 2 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Основание и аргумент логарифма должны удовлетворять условиям: $$ \begin{cases} x > 0 \\ a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases} $$ Если $a \le 0$ или $a = 1$, логарифм не определён, и неравенство не имеет решений. **2. Решение неравенства:** Представим число $2$ в виде логарифма по основанию $a$: $2 = \log_{a} (a^2)$. Неравенство принимает вид: $$ \log_{a} x > \log_{a} (a^2) $$ Знак неравенства при переходе к выражениям под знаком логарифма зависит от величины основания $a$. Рассмотрим два случая: 1) **Случай $a > 1$:** Логарифмическая функция с основанием, большим $1$, является строго возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ x > a^2 $$ Так как $a > 1$, то $a^2 > 1 > 0$, следовательно, условие ОДЗ $x > 0$ выполняется автоматически. Решением в этом случае является интервал $x \in (a^2; +\infty)$. 2) **Случай $0 < a < 1$:** Логарифмическая функция с основанием от $0$ до $1$ является строго убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $$ x < a^2 $$ С учётом ОДЗ ($x > 0$) получаем двойное неравенство: $$ 0 < x < a^2 $$ Решением в этом случае является интервал $x \in (0; a^2)$. **Ответ:** Если $a \le 0$ или $a = 1$, то решений нет; если $0 < a < 1$, то $x \in (0; a^2)$; если $a > 1$, то $x \in (a^2; +\infty)$.