ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 1 - 31

31. 6) Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_{3}^{2}(x-1)-2\log_{3}(x-1)\leqslant-1 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ x - 1 > 0 \implies x > 1 $$ 2. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_{3}(x-1)$. Тогда неравенство примет вид: $$ t^2 - 2t \leqslant -1 $$ Перенесем слагаемое из правой части в левую: $$ t^2 - 2t + 1 \leqslant 0 $$ Свернем выражение по формуле квадрата разности: $$ (t - 1)^2 \leqslant 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(t - 1)^2 \geqslant 0$, данное неравенство выполняется только в случае равенства нулю: $$ (t - 1)^2 = 0 \implies t - 1 = 0 \implies t = 1 $$ 3. Выполним обратную замену: $$ \log_{3}(x-1) = 1 $$ По определению логарифма: $$ x - 1 = 3^1 $$ $$ x - 1 = 3 $$ $$ x = 4 $$ Значение $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 1$). Ответ: $4$