ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 1 - 30

Решите неравенство: $$\log_{0,1}^2 x + \log_{0,1} x < 6$$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть положительным, то есть: $$x > 0$$ 2. Введем замену переменной: пусть $t = \log_{0,1} x$. Тогда исходное неравенство примет вид: $$t^2 + t < 6$$ $$t^2 + t - 6 < 0$$ 3. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем нули квадратного трехчлена $t^2 + t - 6 = 0$ с помощью теоремы Виета: $$\begin{cases} t_1 + t_2 = -1 \\ t_1 \cdot t_2 = -6 \end{cases} \implies t_1 = -3, \quad t_2 = 2$$ Разложим левую часть на множители: $$(t + 3)(t - 2) < 0$$ Решением этого неравенства является интервал: $$-3 < t < 2$$ 4. Выполним обратную замену: $$-3 < \log_{0,1} x < 2$$ Перейдем к системе двух неравенств: $$\begin{cases} \log_{0,1} x > -3 \\ \log_{0,1} x < 2 \end{cases}$$ Так как основание логарифма $0 < 0,1 < 1$, функция $y = \log_{0,1} x$ является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знаки неравенств меняются на противоположные: $$\begin{cases} x < 0,1^{-3} \\ x > 0,1^2 \end{cases}$$ Вычислим степени: $$0,1^2 = 0,01$$ $$0,1^{-3} = \left(\frac{1}{10}\right)^{-3} = 10^3 = 1000$$ Следовательно: $$0,01 < x < 1000$$ 5. С учетом ОДЗ ($x > 0$) получаем: $$x \in (0,01; 1000)$$ Ответ: $(0,01; 1000)$