ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 20

20. Решим уравнение: $$ \log_{13} \log_3 \log_2 (x^2 + 2x) = 0 $$ По определению логарифма: $$ \log_3 \log_2 (x^2 + 2x) = 13^0 $$ Так как $13^0 = 1$, получаем: $$ \log_3 \log_2 (x^2 + 2x) = 1 $$ Применяем определение логарифма еще раз: $$ \log_2 (x^2 + 2x) = 3^1 $$ $$ \log_2 (x^2 + 2x) = 3 $$ Снова применяем определение логарифма: $$ x^2 + 2x = 2^3 $$ $$ x^2 + 2x = 8 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и решим полученное квадратное уравнение: $$ x^2 + 2x - 8 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 \cdot x_2 = -8 \end{cases} $$ Отсюда: $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -4 $$ Проверим найденные значения подстановкой в исходное уравнение: - При $x = 2$: $x^2 + 2x = 2^2 + 2 \cdot 2 = 8 > 0$, $\log_2 8 = 3 > 0$, $\log_3 3 = 1 > 0$, $\log_{13} 1 = 0$ — верно. - При $x = -4$: $x^2 + 2x = (-4)^2 + 2 \cdot (-4) = 16 - 8 = 8 > 0$, $\log_2 8 = 3 > 0$, $\log_3 3 = 1 > 0$, $\log_{13} 1 = 0$ — верно. Оба корня являются решениями уравнения. Ответ: $-4$; $2$.