ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 18

18. Решим логарифмическое уравнение: $$ 8 \log_3 x + \log_{\sqrt{x}} x - \log_{\frac{1}{x}} x = 6 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0, \\ \sqrt{x} > 0, \\ \sqrt{x} \neq 1, \\ \frac{1}{x} > 0, \\ \frac{1}{x} \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1 \end{cases} $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$. 2. Преобразуем слагаемые в левой части уравнения, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ при допустимых значениях $x$: $$ \log_{\sqrt{x}} x = \log_{x^{\frac{1}{2}}} x = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_x x = 2 \cdot 1 = 2 $$ $$ \log_{\frac{1}{x}} x = \log_{x^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_x x = -1 \cdot 1 = -1 $$ 3. Подставим найденные значения в исходное уравнение: $$ 8 \log_3 x + 2 - (-1) = 6 $$ $$ 8 \log_3 x + 3 = 6 $$ $$ 8 \log_3 x = 3 $$ $$ \log_3 x = \frac{3}{8} $$ 4. По определению логарифма: $$ x = 3^{\frac{3}{8}} = \sqrt[8]{3^3} = \sqrt[8]{27} $$ 5. Проверим принадлежность корня ОДЗ: Так как $\sqrt[8]{27} > 0$ и $\sqrt[8]{27} \neq 1$, найденное значение удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\sqrt[8]{27}$ (или $3^{\frac{3}{8}}$).