ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 17

17. Решим логарифмическое уравнение: $$ \log_{3}(x-1) + 2 \log_{9}(17 + x) = 7 + \log_{\frac{1}{3}} 9 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Подкоренные и логарифмируемые выражения должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x - 1 > 0, \\ 17 + x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1, \\ x > -17 \end{cases} \iff x > 1 $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$. **2. Преобразование выражения:** Приведём логарифмы к основанию $3$, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $$ 2\log_{9}(17 + x) = 2\log_{3^2}(17 + x) = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{3}(17 + x) = \log_{3}(17 + x) $$ Вычислим значение числового логарифма: $$ \log_{\frac{1}{3}} 9 = \log_{3^{-1}}(3^2) = \frac{2}{-1}\log_3 3 = -2 $$ Подставим полученные преобразования в исходное уравнение: $$ \log_{3}(x-1) + \log_{3}(17 + x) = 7 + (-2) $$ $$ \log_{3}(x-1) + \log_{3}(17 + x) = 5 $$ **3. Решение уравнения:** Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$: $$ \log_{3}((x - 1)(17 + x)) = 5 $$ По определению логарифма: $$ (x - 1)(17 + x) = 3^5 $$ $$ (x - 1)(x + 17) = 243 $$ Раскроем скобки и приведём уравнение к квадратному виду: $$ x^2 + 17x - x - 17 = 243 $$ $$ x^2 + 16x - 260 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-260) = 256 + 1040 = 1296 = 36^2 $$ $$ x_1 = \frac{-16 + 36}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 $$ $$ x_2 = \frac{-16 - 36}{2 \cdot 1} = \frac{-52}{2} = -26 $$ **4. Проверка корней по ОДЗ:** * $x_1 = 10 > 1$ — удовлетворяет ОДЗ; * $x_2 = -26 < 1$ — не удовлетворяет ОДЗ (посторонний корень). Ответ: $10$