ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 2 - 7

7. Решим неравенство методом интервалов: $$ \frac{(x+2)(x-3)(x-4)}{(x-2)^2} > 0 $$ 1. Найдём нули числителя: $(x+2)(x-3)(x-4) = 0$ $x_1 = -2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 4$. 2. Найдём нули знаменателя: $(x-2)^2 = 0 \implies x = 2$ — корень чётной кратности (кратности $2$). Область допустимых значений: $x \neq 2$. 3. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми: $-2$, $2$, $3$, $4$. Эти точки разбивают числовую прямую на пять интервалов: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 3)$, $(3; 4)$, $(4; +\infty)$. 4. Определим знаки выражения на каждом интервале с учётом того, что множитель $(x-2)^2 > 0$ при всех допустимых значениях $x$ (при переходе через точку $x = 2$ знак выражения не меняется): - на интервале $(4; +\infty)$: при $x = 5$ получаем $\frac{(+)(+)(+)}{(+)} > 0$, знак «$+$»; - на интервале $(3; 4)$: при $x = 3{,}5$ получаем $\frac{(+)(+)(-)}{(+)} < 0$, знак «$-$»; - на интервале $(2; 3)$: при $x = 2{,}5$ получаем $\frac{(+)(-)(-)}{(+)} > 0$, знак «$+$»; - на интервале $(-2; 2)$: при $x = 0$ получаем $\frac{(+)(-)(-)}{(+)} > 0$, знак «$+$»; - на интервале $(-\infty; -2)$: при $x = -3$ получаем $\frac{(-)(-)(-)}{(+)} < 0$, знак «$-$». 5. Нам требуются промежутки, где выражение строго больше нуля (знак «$+$»). Точка $x = 2$ исключается из решения. Получаем интервалы: $(-2; 2)$, $(2; 3)$ и $(4; +\infty)$. Ответ: $x \in (-2; 2) \cup (2; 3) \cup (4; +\infty)$.