ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 2 - 10

10. Решим неравенство методом интервалов: $$ \frac{x^4 - 8x^2 - 9}{x^3 - 1} < 0 $$ Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. 1) Для числителя $x^4 - 8x^2 - 9$ выполним замену переменной $t = x^2$ ($t \ge 0$): $$ t^2 - 8t - 9 = 0 $$ По теореме Виета корни квадратного уравнения: $t_1 = 9$, $t_2 = -1$. Следовательно: $$ x^4 - 8x^2 - 9 = (x^2 - 9)(x^2 + 1) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 1) $$ 2) Знаменатель разложим по формуле разности кубов: $$ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $$ Перепишем исходное неравенство: $$ \frac{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} < 0 $$ 3) Заметим, что: - $x^2 + 1 > 0$ при любых действительных $x$; - выражение $x^2 + x + 1 > 0$ при любых действительных $x$, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, а старший коэффициент положителен ($1 > 0$). Так как эти множители строго положительны при всех $x \in \mathbb{R}$, разделим обе части неравенства на положительное выражение $\frac{x^2 + 1}{x^2 + x + 1}$. Знак неравенства не изменится: $$ \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 1} < 0 $$ 4) Применим метод интервалов: - Нули числителя: $x = -3$, $x = 3$. - Нули знаменателя: $x = 1$. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми: $-3$, $1$, $3$. Определим знаки выражения $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 1}$ на каждом из получившихся интервалов: - при $x \in (3; +\infty)$: возьмем $x = 4$, тогда $\frac{(4 - 3)(4 + 3)}{4 - 1} = \frac{1 \cdot 7}{3} > 0$ (знак «$+$»); - при $x \in (1; 3)$: возьмем $x = 2$, тогда $\frac{(2 - 3)(2 + 3)}{2 - 1} = \frac{-1 \cdot 5}{1} < 0$ (знак «$-$»); - при $x \in (-3; 1)$: возьмем $x = 0$, тогда $\frac{(0 - 3)(0 + 3)}{0 - 1} = \frac{-9}{-1} > 0$ (знак «$+$»); - при $x \in (-\infty; -3)$: возьмем $x = -4$, тогда $\frac{(-4 - 3)(-4 + 3)}{-4 - 1} = \frac{-7 \cdot (-1)}{-5} < 0$ (знак «$-$»). Нам подходят интервалы, на которых выражение отрицательно (со знаком «$-$»): $$ x \in (-\infty; -3) \cup (1; 3) $$ Ответ: $(-\infty; -3) \cup (1; 3)$.