ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 2 - 8

Решим неравенство методом интервалов: $$ \frac{(x-3)^{10} (x-1)^9 x^4}{x+2} \leqslant 0 $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2 $$ 2. **Нули числителя и знаменателя с учётом их кратностей:** * Числитель равен нулю: * $(x-3)^{10} = 0 \implies x = 3$ (корень кратности $10$ — чётная кратность, при переходе через эту точку знак выражения не меняется); * $(x-1)^9 = 0 \implies x = 1$ (корень кратности $9$ — нечётная кратность, при переходе через эту точку знак выражения меняется); * $x^4 = 0 \implies x = 0$ (корень кратности $4$ — чётная кратность, при переходе через эту точку знак выражения не меняется). * Знаменатель равен нулю: * $x + 2 = 0 \implies x = -2$ (корень кратности $1$ — нечётная кратность, при переходе через эту точку знак выражения меняется). 3. **Нанесение точек на числовую прямую:** * Точка $x = -2$ — выколотая, так как находится в знаменателе. * Точки $x = 0$, $x = 1$, $x = 3$ — закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\leqslant 0$). 4. **Определение знаков на интервалах:** * На крайнем правом промежутке $(3; +\infty)$ все множители положительны, следовательно, знак «$+$». * При переходе через $x = 3$ (кратность $10$ — чётная) знак сохраняется: на интервале $(1; 3)$ знак «$+$». * При переходе через $x = 1$ (кратность $9$ — нечётная) знак меняется: на интервале $(0; 1)$ знак «$-»$. * При переходе через $x = 0$ (кратность $4$ — чётная) знак сохраняется: на интервале $(-2; 0)$ знак «$-»$. * При переходе через $x = -2$ (кратность $1$ — нечётная) знак меняется: на интервале $(-\infty; -2)$ знак «$+$». 5. **Выбор решений:** Неравенство требует, чтобы выражение было меньше либо равно нулю ($\leqslant 0$): * Значения со знаком «$-$» находятся на промежутках $(-2; 0)$ и $(0; 1)$. * В точке $x = 0$ выражение равно нулю, поэтому точка входит в решение, объединяя интервалы в полуинтервал $(-2; 1]$. * В точке $x = 3$ выражение также равно нулю, поэтому изолированная точка $x = 3$ является решением. Ответ: $x \in (-2; 1] \cup \{3\}$