ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 2 - 5

5. Решим неравенство методом интервалов: $$ (x^2 + 6x + 9)(x^2 - 1) \leqslant 0 $$ 1. Разложим множители в левой части неравенства на линейные множители: - Выражение $x^2 + 6x + 9$ свернем по формуле квадрата суммы: $$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 $$ - Выражение $x^2 - 1$ разложим по формуле разности квадратов: $$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $$ Получаем неравенство: $$ (x + 3)^2(x + 1)(x - 1) \leqslant 0 $$ 2. Найдем нули функции $f(x) = (x + 3)^2(x + 1)(x - 1)$: $$ (x + 3)^2(x + 1)(x - 1) = 0 $$ Отсюда: - $x = -3$ — корень четной кратности (кратность 2); - $x = -1$ — корень нечетной кратности (кратность 1); - $x = 1$ — корень нечетной кратности (кратность 1). 3. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\leqslant 0$), все точки будут закрашенными (входят в решение). Точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$. 4. Определим знаки выражения на каждом интервале с учетом кратности корней: - На крайнем правом интервале $(1; +\infty)$ возьмем $x = 2$: $$ (2 + 3)^2(2 + 1)(2 - 1) = 25 \cdot 3 \cdot 1 = 75 > 0 \quad (\text{знак } +) $$ - При переходе через точку $x = 1$ знак меняется на противоположный: на интервале $(-1; 1)$ знак «$-$». - При переходе через точку $x = -1$ знак меняется на противоположный: на интервале $(-3; -1)$ знак «$+$». - При переходе через точку $x = -3$ четной кратности знак не меняется: на интервале $(-\infty; -3)$ сохраняется знак «$+$». 5. Нам требуются промежутки, где выражение неположительно ($\leqslant 0$): - Выражение строго меньше нуля на интервале $(-1; 1)$. - Выражение равно нулю в точках $x = -3$, $x = -1$ и $x = 1$. Объединяя все подходящие значения, получаем: $$ x \in \{-3\} \cup [-1; 1] $$ Ответ: $\{-3\} \cup [-1; 1]$