ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 2 - 4

4. Решим неравенство: $$ 6(x^2 - 7x + 12)(x^2 - 4) \geq 0 $$ Разделим обе части неравенства на положительное число $6$: $$ (x^2 - 7x + 12)(x^2 - 4) \geq 0 $$ Разложим множители на линейные множители: 1) Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$, $x_1 \cdot x_2 = 12$. Отсюда $x_1 = 3$, $x_2 = 4$. Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$. 2) По формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Перепишем исходное неравенство в виде: $$ (x + 2)(x - 2)(x - 3)(x - 4) \geq 0 $$ Применим метод интервалов. Нули функции $f(x) = (x + 2)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$: $x = -2$, $x = 2$, $x = 3$, $x = 4$. Так как неравенство нестрогое ($\geq 0$), все нули функции входят в решение (точки на числовой прямой закрашенные). Все корни имеют кратность $1$, поэтому при переходе через каждую точку знак выражения чередуется: - на промежутке $(4; +\infty)$ выражение принимает знак «$+$»; - на промежутке $(3; 4)$ выражение принимает знак «$-$»; - на промежутке $(2; 3)$ выражение принимает знак «$+$»; - на промежутке $(-2; 2)$ выражение принимает знак «$-$»; - на промежутке $(-\infty; -2)$ выражение принимает знак «$+$». Нам подходят промежутки, где выражение неотрицательно (знак «$+$»), включая граничные точки. Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; 3] \cup [4; +\infty)$