ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 1 - 5

Решим неравенство методом интервалов: $$ (x^2 + 4x + 4)(x^2 - 16) \geq 0 $$ 1. Разложим множители на линейные множители: - Первое выражение представляет собой полный квадрат суммы: $$ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 $$ - Второе выражение разложим по формуле разности квадратов: $$ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) $$ Получаем неравенство: $$ (x + 2)^2 (x - 4)(x + 4) \geq 0 $$ 2. Найдём нули функции $f(x) = (x + 2)^2 (x - 4)(x + 4)$: $$ (x + 2)^2 (x - 4)(x + 4) = 0 $$ - $x + 2 = 0 \implies x = -2$ (корень кратности $2$); - $x - 4 = 0 \implies x = 4$ (корень кратности $1$); - $x + 4 = 0 \implies x = -4$ (корень кратности $1$). 3. Нанесём полученные точки на числовую прямую. Так как неравенство нестрогое ($\geq 0$), все точки будут закрашенными. Точки разбивают числовую прямую на промежутки: $$ (-\infty; -4], \quad [-4; -2], \quad [-2; 4], \quad [4; +\infty) $$ 4. Определим знаки выражения $f(x)$ на полученных интервалах: - При $x > 4$ (например, $x = 5$): $(5+2)^2 (5-4)(5+4) > 0$ — знак «$+$». - При переходе через точку $x = 4$ (нечётной кратности $1$) знак меняется на «$-»$. - При переходе через точку $x = -2$ (чётной кратности $2$) знак не меняется и остаётся «$-»$. - При переходе через точку $x = -4$ (нечётной кратности $1$) знак меняется на «$+$». Расстановка знаков: - на $(4; +\infty)$ — знак «$+$»; - на $(-2; 4)$ — знак «$-»$; - на $(-4; -2)$ — знак «$-»$; - на $(-\infty; -4)$ — знак «$+$». 5. Нам подходят интервалы, где выражение положительно, а также все точки, где оно обращается в ноль (включая изолированную точку $x = -2$). Объединяя решения, получаем: $$ x \in (-\infty; -4] \cup \{-2\} \cup [4; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -4] \cup \{-2\} \cup [4; +\infty)$.