ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 1 - 8

8. Решим неравенство методом интервалов: $$ (x-9)^7(x-1)^6(x+1)x^2 \geq 0 $$ 1. Рассмотрим функцию $f(x) = (x-9)^7(x-1)^6(x+1)x^2$. Область определения функции — вся числовая прямая: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$: $$ (x-9)^7(x-1)^6(x+1)x^2 = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: - $x - 9 = 0 \implies x = 9$ (корень кратности $7$ — нечётная кратность); - $x - 1 = 0 \implies x = 1$ (корень кратности $6$ — чётная кратность); - $x + 1 = 0 \implies x = -1$ (корень кратности $1$ — нечётная кратность); - $x = 0$ (корень кратности $2$ — чётная кратность). 3. Нанесем полученные нули на числовую прямую. Так как неравенство нестрогое ($\geq 0$), все найденные точки будут закрашенными (входят в решение). Точки разбивают числовую прямую на пять интервалов: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 9)$, $(9; +\infty)$. 4. Определим знаки функции $f(x)$ на каждом интервале, учитывая правило кратности корней (при переходе через корень нечётной кратности знак функции меняется, а при переходе через корень чётной кратности — сохраняется): - На крайнем правом промежутке $(9; +\infty)$ все множители положительны, поэтому $f(x) > 0$ (знак $+$). - При переходе через точку $x = 9$ (нечётная кратность $7$) знак меняется на противоположный: на интервале $(1; 9)$ получаем знак $-$. - При переходе через точку $x = 1$ (чётная кратность $6$) знак не меняется: на интервале $(0; 1)$ сохраняется знак $-$. - При переходе через точку $x = 0$ (чётная кратность $2$) знак не меняется: на интервале $(-1; 0)$ сохраняется знак $-$. - При переходе через точку $x = -1$ (нечётная кратность $1$) знак меняется: на интервале $(-\infty; -1)$ получаем знак $+$. 5. Так как исходное неравенство имеет знак $\geq 0$, выберем промежутки со знаком $+$, а также все точки, в которых выражение обращается в ноль: - Промежутки, где $f(x) > 0$: $(-\infty; -1)$ и $(9; +\infty)$. - Точки, где $f(x) = 0$: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$, $x = 9$. Объединяя интервалы и точки, получаем: $x \in (-\infty; -1] \cup \{0\} \cup \{1\} \cup [9; +\infty)$. Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup \{0\} \cup \{1\} \cup [9; +\infty)$