ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 1 - 7

Решим неравенство методом интервалов: $$ \frac{(x+1)(x-3)(x-9)}{(x-7)^2} < 0 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $$ (x-7)^2 \neq 0 \implies x \neq 7 $$ 2. Найдём нули числителя: $$ (x+1)(x-3)(x-9) = 0 $$ $$ x+1 = 0 \implies x = -1 $$ $$ x-3 = 0 \implies x = 3 $$ $$ x-9 = 0 \implies x = 9 $$ 3. Заметим, что при всех $x \neq 7$ выражение в знаменателе $(x-7)^2 > 0$. Это значит, что знак дроби зависит только от знака числителя, а в точке $x = 7$ смены знака не происходит (корень чётной кратности). 4. Нанесём полученные точки $-1$, $3$, $7$ и $9$ на числовую прямую. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми: $$ (-\infty; -1), \quad (-1; 3), \quad (3; 7), \quad (7; 9), \quad (9; +\infty) $$ Определим знак выражения $f(x) = \frac{(x+1)(x-3)(x-9)}{(x-7)^2}$ на каждом из промежутков: - на $(-\infty; -1)$ возьмём $x = -2$: $\frac{(-1)(-5)(-11)}{(-9)^2} = \frac{-}{+} < 0$ (знак «$-$»); - на $(-1; 3)$ возьмём $x = 0$: $\frac{(1)(-3)(-9)}{(-7)^2} = \frac{+}{+} > 0$ (знак «$+$»); - на $(3; 7)$ возьмём $x = 4$: $\frac{(5)(1)(-5)}{(-3)^2} = \frac{-}{+} < 0$ (знак «$-$»); - на $(7; 9)$ возьмём $x = 8$: $\frac{(9)(5)(-1)}{(1)^2} = \frac{-}{+} < 0$ (знак «$-$»); - на $(9; +\infty)$ возьмём $x = 10$: $\frac{(11)(7)(1)}{(3)^2} = \frac{+}{+} > 0$ (знак «$+$»). 5. Неравенству удовлетворяют промежутки, на которых выражение принимает отрицательные значения (со знаком «$-$»). Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; 7) \cup (7; 9)$