ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 2 - 40

40. 4) Решим показательное уравнение: $$16^x + 9 = 6 \cdot 4^x$$ Перенесем слагаемое $6 \cdot 4^x$ в левую часть уравнения: $$16^x - 6 \cdot 4^x + 9 = 0$$ Так как $16 = 4^2$, представим $16^x$ в виде $(4^2)^x = (4^x)^2$: $$(4^x)^2 - 6 \cdot 4^x + 9 = 0$$ Введем замену переменной: пусть $t = 4^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, наложим условие $t > 0$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$t^2 - 6t + 9 = 0$$ Заметим, что в левой части находится полный квадрат разности: $$(t - 3)^2 = 0$$ Отсюда: $$t - 3 = 0$$ $$t = 3$$ Корень $t = 3$ удовлетворяет условию $t > 0$. Выполним обратную замену: $$4^x = 3$$ По определению логарифма: $$x = \log_4 3$$ *(Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$, корень также можно записать как $x = \frac{1}{2}\log_2 3$ или $x = \frac{\log_2 3}{2}$).* --- *Примечание:* если цифра $4$ перед $16^x$ в условии опечатка и является коэффициентом ($4 \cdot 16^x - 6 \cdot 4^x + 9 = 0$), то после замены $t = 4^x$ получаем уравнение $4t^2 - 6t + 9 = 0$, дискриминант которого $D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 36 - 144 = -108 < 0$, и в таком случае уравнение корней не имеет. **Ответ:** $x = \log_4 3$