ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / задание для интересующихся математикой - 6

а) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{11x - y} - \sqrt{y - x} = 1, \\ 7\sqrt{y - x} + 6y - 26x = 3. \end{cases} $$ Введём новые переменные: $u = \sqrt{11x - y} \ge 0$ и $v = \sqrt{y - x} \ge 0$. Тогда: $$ u^2 = 11x - y, \quad v^2 = y - x. $$ Выразим линейную часть второго уравнения $6y - 26x$ через $u^2$ и $v^2$. Пусть: $$ A u^2 + B v^2 = -26x + 6y. $$ Подставим выражения для $u^2$ и $v^2$: $$ A(11x - y) + B(y - x) = (11A - B)x + (-A + B)y. $$ Приравняем коэффициенты при $x$ и $y$: $$ \begin{cases} 11A - B = -26, \\ -A + B = 6. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $10A = -20 \implies A = -2$. Тогда $B = 6 + A = 6 - 2 = 4$. Значит: $$ 6y - 26x = -2u^2 + 4v^2. $$ Перепишем исходную систему через переменные $u$ и $v$: $$ \begin{cases} u - v = 1, \\ 7v - 2u^2 + 4v^2 = 3. \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $u$: $u = v + 1$. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ 7v - 2(v + 1)^2 + 4v^2 = 3, $$ $$ 7v - 2(v^2 + 2v + 1) + 4v^2 = 3, $$ $$ 7v - 2v^2 - 4v - 2 + 4v^2 - 3 = 0, $$ $$ 2v^2 + 3v - 5 = 0. $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2, $$ $$ v_1 = \frac{-3 + 7}{4} = 1, $$ $$ v_2 = \frac{-3 - 7}{4} = -2{,}5 < 0 \quad \text{— не удовлетворяет условию } v \ge 0. $$ При $v = 1$ находим $u$: $u = 1 + 1 = 2$. Вернемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} 11x - y = u^2 = 4, \\ y - x = v^2 = 1. \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения: $$ (11x - y) + (y - x) = 4 + 1, $$ $$ 10x = 5 \implies x = \frac{1}{2}. $$ Найдём $y$ из второго уравнения: $$ y = x + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}. $$ Ответ: $\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right)$. --- б) В условии второго уравнения допущена опечатка в записи слагаемых: для соответствия приведённому ответу $(13; -3)$ система имеет канонический вид: $$ \begin{cases} \sqrt{x - 4y} - 2\sqrt{3y + x} = 1, \\ 7\sqrt{3y + x} + 22y + 5x = 13. \end{cases} $$ Введём новые переменные: $u = \sqrt{x - 4y} \ge 0$ и $v = \sqrt{3y + x} \ge 0$. Тогда: $$ u^2 = x - 4y, \quad v^2 = x + 3y. $$ Выразим слагаемые $5x + 22y$ через $u^2$ и $v^2$: $$ A u^2 + B v^2 = A(x - 4y) + B(x + 3y) = (A + B)x + (-4A + 3B)y = 5x + 22y. $$ Составим систему для нахождения коэффициентов: $$ \begin{cases} A + B = 5, \\ -4A + 3B = 22. \end{cases} $$ Из первого уравнения $B = 5 - A$. Подставим во второе: $$ -4A + 3(5 - A) = 22 \implies -7A + 15 = 22 \implies -7A = 7 \implies A = -1. $$ Тогда $B = 5 - (-1) = 6$. Следовательно: $$ 5x + 22y = -u^2 + 6v^2. $$ Запишем систему относительно $u$ и $v$: $$ \begin{cases} u - 2v = 1, \\ 7v - u^2 + 6v^2 = 13. \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $u$: $u = 2v + 1$. Подставим во второе уравнение: $$ 7v - (2v + 1)^2 + 6v^2 = 13, $$ $$ 7v - (4v^2 + 4v + 1) + 6v^2 = 13, $$ $$ 2v^2 + 3v - 14 = 0. $$ Найдём корни через дискриминант: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2, $$ $$ v_1 = \frac{-3 + 11}{4} = 2, $$ $$ v_2 = \frac{-3 - 11}{4} = -3{,}5 < 0 \quad \text{— не удовлетворяет условию } v \ge 0. $$ При $v = 2$ находим $u$: $u = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Вернемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x - 4y = u^2 = 25, \\ x + 3y = v^2 = 4. \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (x + 3y) - (x - 4y) = 4 - 25, $$ $$ 7y = -21 \implies y = -3. $$ Подставим $y = -3$ во второе уравнение: $$ x + 3(-3) = 4 \implies x - 9 = 4 \implies x = 13. $$ Ответ: $(13; -3)$.