ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / задание для интересующихся математикой - 7

**а)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 5\sqrt[3]{2x^2y^3} = 2(x^2 + y^2) \\ 3\sqrt[3]{4x^4y^3} = 4(y^2 - x^2) \end{cases} $$ 1. Проверим случай, когда хотя бы одна из переменных равна нулю: Если $x = 0$, то из первого уравнения получаем $0 = 2y^2 \implies y = 0$. Если $y = 0$, то аналогично $0 = 2x^2 \implies x = 0$. Пара $(0; 0)$ обращает оба уравнения в верные числовые равенства, следовательно, $(0; 0)$ — решение системы. 2. Пусть теперь $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Перемножим почленно первое и второе уравнения системы: $$ (5\sqrt[3]{2x^2y^3}) \cdot (3\sqrt[3]{4x^4y^3}) = 2(x^2 + y^2) \cdot 4(y^2 - x^2) $$ $$ 15\sqrt[3]{8x^6y^6} = 8(y^4 - x^4) $$ Так как $\sqrt[3]{8x^6y^6} = 2x^2y^2$, получаем: $$ 30x^2y^2 = 8y^4 - 8x^4 $$ $$ 4y^4 - 15x^2y^2 - 4x^4 = 0 $$ Разделим обе части полученного однородного уравнения на $x^4 \neq 0$: $$ 4\left(\frac{y^2}{x^2}\right)^2 - 15\left(\frac{y^2}{x^2}\right) - 4 = 0 $$ Введем замену $t = \frac{y^2}{x^2}$, где $t > 0$: $$ 4t^2 - 15t - 4 = 0 $$ $$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2 $$ $$ t_1 = \frac{15 + 17}{8} = 4, \quad t_2 = \frac{15 - 17}{8} = -\frac{1}{4} $$ Так как $t > 0$, корень $t_2 = -\frac{1}{4}$ не подходит. Значит: $$ \frac{y^2}{x^2} = 4 \implies y^2 = 4x^2 \implies x^2 = \frac{y^2}{4} $$ 3. Подставим $x^2 = \frac{y^2}{4}$ в первое уравнение исходной системы: $$ 5\sqrt[3]{2 \cdot \frac{y^2}{4} \cdot y^3} = 2\left(\frac{y^2}{4} + y^2\right) $$ $$ 5\sqrt[3]{\frac{y^5}{2}} = \frac{5y^2}{2} $$ Разделим обе части уравнения на 5 и возведем в куб: $$ \sqrt[3]{\frac{y^5}{2}} = \frac{y^2}{2} $$ $$ \frac{y^5}{2} = \frac{y^6}{8} $$ $$ y^6 - 4y^5 = 0 \implies y^5(y - 4) = 0 $$ Поскольку $y \neq 0$, получаем $y = 4$. 4. Найдем соответствующие значения $x$: $$ x^2 = \frac{4^2}{4} = 4 \implies x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 $$ Проверим второе уравнение системы для найденных пар $(2; 4)$ и $(-2; 4)$: - Левая часть: $3\sqrt[3]{4 \cdot (\pm 2)^4 \cdot 4^3} = 3\sqrt[3]{4 \cdot 16 \cdot 64} = 3\sqrt[3]{4096} = 3 \cdot 16 = 48$. - Правая часть: $4(4^2 - (\pm 2)^2) = 4(16 - 4) = 48$. Равенство $48 = 48$ верно. Ответ к пункту а): $(0; 0)$, $(-2; 4)$, $(2; 4)$. --- **б)** В первом уравнении под знаком кубического корня содержится опечатка условия: коэффициент $2$ перед переменными является лишним, верная запись уравнения имеет вид $5\sqrt[3]{x^5y^2} = 4(x^2 + y^2)$ (иначе пары $(4; 2)$ и $(4; -2)$, указанные в ответе задачника, не обращают уравнение в верное равенство). Решим систему с учетом исправленной опечатки: $$ \begin{cases} 5\sqrt[3]{x^5y^2} = 4(x^2 + y^2) \\ 3\sqrt[3]{xy^4} = x^2 - y^2 \end{cases} $$ 1. При $x = 0$ из первого уравнения следует $y = 0$. При $y = 0$ также получаем $x = 0$. Пара $(0; 0)$ — решение системы. 2. Пусть $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Перемножим первое и второе уравнения системы: $$ (5\sqrt[3]{x^5y^2}) \cdot (3\sqrt[3]{xy^4}) = 4(x^2 + y^2)(x^2 - y^2) $$ $$ 15\sqrt[3]{x^6y^6} = 4(x^4 - y^4) $$ Так как $\sqrt[3]{x^6y^6} = x^2y^2$, получаем: $$ 15x^2y^2 = 4x^4 - 4y^4 $$ $$ 4x^4 - 15x^2y^2 - 4y^4 = 0 $$ Разделим уравнение на $y^4 \neq 0$ и сделаем замену $t = \frac{x^2}{y^2} > 0$: $$ 4t^2 - 15t - 4 = 0 $$ Корни уравнения: $t_1 = 4$, $t_2 = -\frac{1}{4}$ (посторонний корень, так как $t > 0$). Следовательно: $$ \frac{x^2}{y^2} = 4 \implies x^2 = 4y^2 $$ 3. Подставим $x^2 = 4y^2$ во второе уравнение исходной системы: $$ 3\sqrt[3]{xy^4} = 4y^2 - y^2 = 3y^2 $$ $$ \sqrt[3]{xy^4} = y^2 $$ Возведем обе части в куб: $$ xy^4 = y^6 \implies y^4(y^2 - x) = 0 $$ Так как $y \neq 0$, получаем: $$ x = y^2 $$ 4. Так как $x^2 = 4y^2$ и $x = y^2$, подставим $x$ в равенство: $$ (y^2)^2 = 4y^2 \implies y^4 - 4y^2 = 0 \implies y^2(y^2 - 4) = 0 $$ Так как $y \neq 0$: $$ y^2 = 4 \implies y = 2 \quad \text{или} \quad y = -2 $$ Тогда: $$ x = y^2 = 4 $$ Получили две пары чисел: $(4; 2)$ и $(4; -2)$. Проверим первое уравнение системы: - Левая часть: $5\sqrt[3]{4^5 \cdot (\pm 2)^2} = 5\sqrt[3]{1024 \cdot 4} = 5\sqrt[3]{4096} = 5 \cdot 16 = 80$. - Правая часть: $4(4^2 + (\pm 2)^2) = 4(16 + 4) = 4 \cdot 20 = 80$. Равенство $80 = 80$ верно. Ответ к пункту б): $(0; 0)$, $(4; 2)$, $(4; -2)$.