ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / КР-2 / вариант 2 - 5

Решим неравенство: $$ \sqrt{x-3} \leq \frac{5}{x-5} $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю: $$ \begin{cases} x - 3 \ge 0, \\ x - 5 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 3, \\ x \neq 5 \end{cases} $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in [3; 5) \cup (5; +\infty)$. **2. Анализ знаков частей неравенства:** Левая часть неравенства $\sqrt{x-3} \ge 0$ при всех допустимых $x$. Следовательно, неравенство может выполняться только тогда, когда правая часть также строго положительна: $$ \frac{5}{x-5} > 0 \iff x - 5 > 0 \iff x > 5 $$ Если же $x \in [3; 5)$, то $x - 5 < 0$, откуда $\frac{5}{x-5} < 0$. В этом случае неотрицательное число $\sqrt{x-3}$ не может быть меньше или равно отрицательному числу $\frac{5}{x-5}$. Значит, на промежутке $[3; 5)$ решений нет. **3. Решение неравенства при $x > 5$:** При $x > 5$ знаменатель $x - 5 > 0$. Умножим обе части неравенства на положительное выражение $(x - 5)$: $$ (x - 5)\sqrt{x-3} \le 5 $$ Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 5)\sqrt{x-3}$ на промежутке $(5; +\infty)$. Функции $y_1 = x - 5$ и $y_2 = \sqrt{x-3}$ являются положительными и строго возрастающими при $x > 5$, следовательно, их произведение $f(x)$ также строго возрастает на $(5; +\infty)$. Так как при $x \to 5+0$ значение $f(x) \to 0$, а при $x \to +\infty$ значение $f(x) \to +\infty$, непрерывная строго возрастающая функция $f(x)$ принимает значение $5$ ровно в одной точке $x_0 \in (5; +\infty)$. Значит, неравенство $f(x) \le 5$ выполняется при всех $x \in (5; x_0]$, где $x_0$ — корень уравнения: $$ (x - 5)\sqrt{x-3} = 5 $$ **4. Нахождение значения $x_0$:** Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-3}$. Так как $x > 5$, то $t > \sqrt{5-3} = \sqrt{2}$. Выразим $x - 5$ через $t$: $$ t^2 = x - 3 \implies x - 5 = t^2 - 2 $$ Подставим в уравнение: $$ (t^2 - 2)t = 5 $$ $$ t^3 - 2t - 5 = 0 $$ Данное кубическое уравнение имеет один действительный корень, который находится по формуле Кардано для уравнения вида $t^3 + pt + q = 0$ при $p = -2$, $q = -5$: $$ Q = \left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2 = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2 = -\frac{8}{27} + \frac{25}{4} = \frac{643}{108} $$ Так как $Q > 0$, корень уравнения равен: $$ t_0 = \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \sqrt{\frac{643}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{2} - \sqrt{\frac{643}{108}}} $$ Так как $t_0 \approx 2{,}095 > \sqrt{2}$, найденное значение удовлетворяет условию $t > \sqrt{2}$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем граничную точку: $$ x_0 = t_0^2 + 3 = \left(\sqrt[3]{\frac{5}{2} + \sqrt{\frac{643}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{2} - \sqrt{\frac{643}{108}}}\right)^2 + 3 $$ Следовательно, решением неравенства является полуинтервал $(5; x_0]$. Ответ: $\left(5; \left(\sqrt[3]{\frac{5}{2} + \sqrt{\frac{643}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{2} - \sqrt{\frac{643}{108}}}\right)^2 + 3\right]$ (или $(5; x_0]$, где $x_0$ — единственный корень уравнения $(x-5)\sqrt{x-3} = 5$, $x_0 \approx 7{,}39$).