ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / КР-2 / вариант 2 - 3

1) $\sqrt{x-2} = 4$ Так как правая часть уравнения положительна, возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{x-2})^2 = 4^2 $$ $$ x - 2 = 16 $$ $$ x = 16 + 2 $$ $$ x = 18 $$ Проверка: $\sqrt{18 - 2} = \sqrt{16} = 4$ — верно. Ответ: $x = 18$. --- 2) $\sqrt{5-x} = \sqrt{x-2}$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 5 - x \ge 0, \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le 5, \\ x \ge 2 \end{cases} \iff 2 \le x \le 5 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 5 - x = x - 2 $$ $$ -x - x = -2 - 5 $$ $$ -2x = -7 $$ $$ x = 3{,}5 $$ Значение $x = 3{,}5$ принадлежит отрезку $[2; 5]$. Проверка: $\sqrt{5 - 3{,}5} = \sqrt{1{,}5}$ и $\sqrt{3{,}5 - 2} = \sqrt{1{,}5}$ — верно. Ответ: $x = 3{,}5$. --- 3) $\sqrt{x+1} = 1-x$ Так как арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $$ 1 - x \ge 0 \implies x \le 1 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат при условии $x \le 1$: $$ x + 1 = (1 - x)^2 $$ $$ x + 1 = 1 - 2x + x^2 $$ Перенесём все слагаемые в одну сторону: $$ x^2 - 3x = 0 $$ $$ x(x - 3) = 0 $$ Отсюда: $x_1 = 0$; $x_2 = 3$. Проверим условие $x \le 1$: * $x_1 = 0 \le 1$ — подходит; * $x_2 = 3 > 1$ — посторонний корень. Проверка для $x = 0$: $\sqrt{0 + 1} = 1 - 0$, $1 = 1$ — верно. Ответ: $x = 0$. --- 4) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+8} = 1$ Перенесём слагаемое с минусом в правую часть: $$ \sqrt{3x+1} = 1 + \sqrt{x+8} $$ ОДЗ исходного уравнения: $$ \begin{cases} 3x + 1 \ge 0, \\ x + 8 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -\dfrac{1}{3}, \\ x \ge -8 \end{cases} \iff x \ge -\dfrac{1}{3} $$ Обе части уравнения неотрицательны, возведём их в квадрат: $$ (\sqrt{3x+1})^2 = (1 + \sqrt{x+8})^2 $$ $$ 3x + 1 = 1 + 2\sqrt{x+8} + x + 8 $$ $$ 3x + 1 = x + 9 + 2\sqrt{x+8} $$ Изолируем корень: $$ 3x - x + 1 - 9 = 2\sqrt{x+8} $$ $$ 2x - 8 = 2\sqrt{x+8} $$ Разделим обе части на $2$: $$ x - 4 = \sqrt{x+8} $$ Так как корень неотрицателен, левая часть также должна удовлетворять условию: $$ x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (x - 4)^2 = (\sqrt{x+8})^2 $$ $$ x^2 - 8x + 16 = x + 8 $$ $$ x^2 - 9x + 8 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 1$; $x_2 = 8$. С учётом условия $x \ge 4$: * $x_1 = 1 < 4$ — посторонний корень; * $x_2 = 8 \ge 4$ — корень уравнения. Проверка для $x = 8$: $$ \sqrt{3 \cdot 8 + 1} - \sqrt{8 + 8} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1 $$ Равенство $1 = 1$ верно. Ответ: $x = 8$.