ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / КР-2 / вариант 2 - 2

Рассмотрим функцию $y = x^{-6} = \dfrac{1}{x^6}$. **Эскиз графика функции:** 1. Область определения функции: все действительные числа, кроме нуля: $$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$ 2. Чётность: $$y(-x) = (-x)^{-6} = \frac{1}{(-x)^6} = \frac{1}{x^6} = y(x)$$ Функция является чётной, поэтому её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. График расположен строго выше оси абсцисс (в I и II координатных четвертях). 4. Поведение функции и асимптоты: — При $x \to 0$ значения $y \to +\infty$ (ось $Oy$, то есть прямая $x = 0$, является вертикальной асимптотой); — При $x \to \pm\infty$ значения $y \to 0$ (ось $Ox$, то есть прямая $y = 0$, является горизонтальной асимптотой). 5. Характерные точки для построения эскиза: $$(1; 1), \quad (-1; 1), \quad \left(2; \frac{1}{64}\right), \quad \left(-2; \frac{1}{64}\right), \quad \left(\frac{1}{2}; 64\right), \quad \left(-\frac{1}{2}; 64\right)$$ *Описание эскиза:* В I четверти ветвь графика круто спускается вдоль оси $Oy$, проходит через точку $(1; 1)$ и плавно приближается к положительной полуоси $Ox$. Во II четверти ветвь симметрична относительно оси $Oy$: круто спускается вдоль отрицательной полуоси $Oy$ сверху вниз от $+\infty$, проходит через точку $(-1; 1)$ и асимптотически приближается к отрицательной полуоси $Ox$. --- ### 1) Промежутки возрастания функции Исследуем функцию на монотонность: Пусть $x_1 < x_2 < 0$. Так как оба числа отрицательны, то при возведении в 6-ю степень знак неравенства меняется на противоположный: $$x_1^6 > x_2^6 > 0$$ Тогда для обратных величин справедливо неравенство: $$\frac{1}{x_1^6} < \frac{1}{x_2^6}$$ Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, на промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает. На промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает (при $0 < x_1 < x_2$ имеем $x_1^6 < x_2^6 \implies \dfrac{1}{x_1^6} > \dfrac{1}{x_2^6}$). **Ответ:** функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$. --- ### 2) Сравнение чисел * Сравним $(4,2)^{-6}$ и $1$: Представим число $1$ как $1^{-6}$. Так как $4,2 > 1 > 0$, а на промежутке $(0; +\infty)$ функция $y = x^{-6}$ убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: $$4,2 > 1 \implies (4,2)^{-6} < 1^{-6} \implies (4,2)^{-6} < 1$$ *(Или через вычисление: $(4,2)^{-6} = \dfrac{1}{4,2^6}$; так как $4,2^6 > 1$, то $\dfrac{1}{4,2^6} < 1$)*. **Ответ:** $(4,2)^{-6} < 1$. --- * Сравним $\left(\frac{1}{3}\right)^{-6}$ и $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-6}$: Преобразуем каждое число, используя свойство отрицательной степени $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$: $$\left(\frac{1}{3}\right)^{-6} = 3^6 = 729$$ $$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-6} = (\sqrt{2})^6 = \left((\sqrt{2})^2\right)^3 = 2^3 = 8$$ Так как $729 > 8$, то: $$\left(\frac{1}{3}\right)^{-6} > \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-6}$$ **Ответ:** $\left(\frac{1}{3}\right)^{-6} > \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-6}$.