ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / КР-2 / вариант 1 - 5

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0; \end{cases} \\ &\begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > (g(x))^2. \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Для неравенства $\sqrt{x + 8} > x + 2$ получаем совокупность: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x + 2 < 0, \\ x + 8 \ge 0; \end{cases} \\ &\begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ x + 8 > (x + 2)^2. \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Решим каждую систему отдельно. **Первая система:** $$ \begin{cases} x < -2, \\ x \ge -8. \end{cases} $$ Отсюда получаем промежуток: $$ -8 \le x < -2, \quad \text{то есть } x \in [-8; -2). $$ **Вторая система:** $$ \begin{cases} x \ge -2, \\ x + 8 > x^2 + 4x + 4. \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство: $$ x^2 + 3x - 4 < 0. $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 4$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2, $$ $$ x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1. $$ Решением неравенства $(x + 4)(x - 1) < 0$ является интервал: $$ -4 < x < 1. $$ Учитывая условие $x \ge -2$, находим пересечение: $$ \begin{cases} x \ge -2, \\ -4 < x < 1 \end{cases} \implies -2 \le x < 1, \quad \text{то есть } x \in [-2; 1). $$ **Объединение решений:** Объединяем решения первой и второй систем: $$ [-8; -2) \cup [-2; 1) = [-8; 1). $$ Ответ: $[-8; 1)$.