ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 9 / вариант 1 - 6

6. Решим иррациональное уравнение: $$ \sqrt{5 - x} - \sqrt{5 + x} = 2 $$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ) переменной: $$ \begin{cases} 5 - x \ge 0 \\ 5 + x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le 5 \\ x \ge -5 \end{cases} \iff x \in [-5; 5] $$ Перенесём слагаемое $-\sqrt{5 + x}$ в правую часть уравнения: $$ \sqrt{5 - x} = 2 + \sqrt{5 + x} $$ Так как обе части уравнения неотрицательны при $x \in [-5; 5]$, возведём обе части в квадрат: $$ (\sqrt{5 - x})^2 = (2 + \sqrt{5 + x})^2 $$ $$ 5 - x = 4 + 4\sqrt{5 + x} + 5 + x $$ Приведём подобные члены и уединим слагаемое с корнем: $$ 5 - x - 9 - x = 4\sqrt{5 + x} $$ $$ -2x - 4 = 4\sqrt{5 + x} $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ -x - 2 = 2\sqrt{5 + x} $$ Правая часть уравнения неотрицательна, так как $2\sqrt{5 + x} \ge 0$. Следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $$ -x - 2 \ge 0 \iff x \le -2 $$ С учётом ОДЗ получаем ограничение: $x \in [-5; -2]$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (-x - 2)^2 = (2\sqrt{5 + x})^2 $$ $$ x^2 + 4x + 4 = 4(5 + x) $$ $$ x^2 + 4x + 4 = 20 + 4x $$ $$ x^2 = 16 $$ $$ x_1 = 4, \quad x_2 = -4 $$ Проверим найденные значения: 1. $x = 4$ не удовлетворяет условию $x \le -2$ (является посторонним корнем). 2. $x = -4$ удовлетворяет условию $x \in [-5; -2]$. Выполним проверку для $x = -4$ подстановкой в исходное уравнение: $$ \sqrt{5 - (-4)} - \sqrt{5 + (-4)} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 $$ $2 = 2$ — верно. Ответ: $-4$.