ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 9 / вариант 1 - 9

Решим иррациональное уравнение: $$ \sqrt{15 - x} + \sqrt{3 - x} = 6 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 15 - x \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le 15 \\ x \le 3 \end{cases} \iff x \le 3 $$ 2. Оставим один из корней в левой части уравнения, а второй перенесем в правую: $$ \sqrt{15 - x} = 6 - \sqrt{3 - x} $$ 3. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{15 - x})^2 = (6 - \sqrt{3 - x})^2 $$ $$ 15 - x = 36 - 12\sqrt{3 - x} + (3 - x) $$ $$ 15 - x = 39 - x - 12\sqrt{3 - x} $$ 4. Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень: $$ 15 = 39 - 12\sqrt{3 - x} $$ $$ 12\sqrt{3 - x} = 39 - 15 $$ $$ 12\sqrt{3 - x} = 24 $$ $$ \sqrt{3 - x} = 2 $$ 5. Снова возведем обе части уравнения в квадрат: $$ 3 - x = 4 $$ $$ x = 3 - 4 $$ $$ x = -1 $$ 6. Проверка: Значение $x = -1$ принадлежит ОДЗ ($ -1 \le 3 $). Подставим $x = -1$ в исходное уравнение: $$ \sqrt{15 - (-1)} + \sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6 $$ $6 = 6$ — равенство верно, следовательно, $x = -1$ является корнем уравнения. Ответ: $-1$