ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 9 / вариант 1 - 8

8. Решим иррациональное уравнение: $$ \sqrt{2x+5} - \sqrt{x+6} = 1 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 2x + 5 \ge 0 \\ x + 6 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -2{,}5 \\ x \ge -6 \end{cases} \iff x \ge -2{,}5 $$ 2. Перенесём слагаемое $-\sqrt{x+6}$ в правую часть уравнения: $$ \sqrt{2x+5} = 1 + \sqrt{x+6} $$ 3. Обе части уравнения неотрицательны при $x \ge -2{,}5$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{2x+5})^2 = (1 + \sqrt{x+6})^2 $$ $$ 2x + 5 = 1 + 2\sqrt{x+6} + x + 6 $$ $$ 2x + 5 = x + 7 + 2\sqrt{x+6} $$ 4. Изолируем корень в правой части: $$ 2x - x + 5 - 7 = 2\sqrt{x+6} $$ $$ x - 2 = 2\sqrt{x+6} $$ 5. Так как правая часть $2\sqrt{x+6} \ge 0$, то левая часть также должна быть неотрицательной: $$ x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 $$ Возведём обе части в квадрат: $$ (x - 2)^2 = (2\sqrt{x+6})^2 $$ $$ x^2 - 4x + 4 = 4(x + 6) $$ $$ x^2 - 4x + 4 = 4x + 24 $$ $$ x^2 - 8x - 20 = 0 $$ 6. Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2 $$ $$ x_1 = \frac{8 + 12}{2} = 10 $$ $$ x_2 = \frac{8 - 12}{2} = -2 $$ 7. Проверим корни с учётом условия $x \ge 2$: — Число $x = 10 \ge 2$ — удовлетворяет условию. — Число $x = -2 < 2$ — посторонний корень. Проверка подстановкой в исходное уравнение для $x = 10$: $$ \sqrt{2 \cdot 10 + 5} - \sqrt{10 + 6} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1 $$ Получили верное равенство $1 = 1$. Ответ: $10$