ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 9 / вариант 1 - 7

7. Решим иррациональное уравнение: $$5\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 4$$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Под знаком квадратного корня должны находиться неотрицательные выражения: $$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ x + 6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -6 \end{cases} \implies x \ge 2$$ 2. **Преобразование и решение уравнения:** Оставим один из корней в левой части: $$5\sqrt{x-2} = 4 - \sqrt{x+6}$$ Так как левая часть уравнения неотрицательна при любом допустимом $x$, правая часть также должна быть неотрицательной: $$4 - \sqrt{x+6} \ge 0 \implies \sqrt{x+6} \le 4 \implies x + 6 \le 16 \implies x \le 10$$ С учетом ОДЗ переменная должна принадлежать промежутку $x \in [2; 10]$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(5\sqrt{x-2})^2 = (4 - \sqrt{x+6})^2$$ $$25(x - 2) = 16 - 8\sqrt{x+6} + (x + 6)$$ $$25x - 50 = x + 22 - 8\sqrt{x+6}$$ Перенесем слагаемые без корня в левую часть: $$24x - 72 = -8\sqrt{x+6}$$ Разделим обе части равенства на $-8$: $$9 - 3x = \sqrt{x+6}$$ Для существования решений левая часть уравнения должна быть неотрицательной: $$9 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 9 \implies x \le 3$$ С учетом предыдущих ограничений: $x \in [2; 3]$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(9 - 3x)^2 = (\sqrt{x+6})^2$$ $$81 - 54x + 9x^2 = x + 6$$ $$9x^2 - 55x + 75 = 0$$ 3. **Решим полученное квадратное уравнение:** $$D = (-55)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 75 = 3025 - 2700 = 325$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{325} = \sqrt{25 \cdot 13} = 5\sqrt{13}$$ $$x = \frac{55 \pm 5\sqrt{13}}{2 \cdot 9} = \frac{55 \pm 5\sqrt{13}}{18}$$ Получаем два значения: $$x_1 = \frac{55 - 5\sqrt{13}}{18}$$ $$x_2 = \frac{55 + 5\sqrt{13}}{18}$$ 4. **Отбор корней:** Проверим принадлежность корней промежутку $[2; 3]$: Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, оценим значения корней: - Для $x_1$: $$15 < 5\sqrt{13} < 20 \implies 35 < 55 - 5\sqrt{13} < 40$$ $$\frac{35}{18} < x_1 < \frac{40}{18}$$ Уточним нижнюю границу: так как $\sqrt{13} \approx 3{,}6$, то $5\sqrt{13} \approx 18$, откуда $55 - 5\sqrt{13} \approx 37 > 36$, следовательно, $x_1 = \frac{55 - 5\sqrt{13}}{18} > \frac{36}{18} = 2$. При этом $\frac{55 - 5\sqrt{13}}{18} < \frac{54}{18} = 3$. Значит, $x_1 \in [2; 3]$ — корень уравнения. - Для $x_2$: $$x_2 = \frac{55 + 5\sqrt{13}}{18} > \frac{55 + 15}{18} = \frac{70}{18} > 3$$ Значит, $x_2$ не удовлетворяет условию $x \le 3$ и является посторонним корнем. Ответ: $\frac{55 - 5\sqrt{13}}{18}$