ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 9 / вариант 1 - 17

17. $\boxed{6}$ Решим уравнение: $$ \sqrt{x+1} = (x-1)^2 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1 $$ Правая часть уравнения $(x-1)^2 \ge 0$ при всех действительных значениях $x$. **2. Графический способ решения:** Рассмотрим две функции: $y = \sqrt{x+1}$ и $y = (x-1)^2$. Корнями исходного уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков этих функций при $x \ge -1$. Составим таблицы значений для построения графиков: 1) Для функции $y = \sqrt{x+1}$ (график — ветвь параболы, смещённая на 1 единицу влево): - при $x = -1$: $y = \sqrt{-1+1} = 0$; - при $x = 0$: $y = \sqrt{0+1} = 1$; - при $x = 3$: $y = \sqrt{3+1} = 2$; - при $x = 8$: $y = \sqrt{8+1} = 3$. 2) Для функции $y = (x-1)^2$ (график — парабола с вершиной в точке $(1; 0)$): - при $x = -1$: $y = (-1-1)^2 = 4$; - при $x = 0$: $y = (0-1)^2 = 1$; - при $x = 1$: $y = (1-1)^2 = 0$; - при $x = 2$: $y = (2-1)^2 = 1$; - при $x = 3$: $y = (3-1)^2 = 4$. Построив графики в одной системе координат, находим точки их пересечения: * Первая точка пересечения имеет точные координаты $(0; 1)$. Проверим значение $x = 0$: $$ \sqrt{0+1} = (0-1)^2 \iff 1 = 1 \quad \text{(верно)}. $$ Значит, $x_1 = 0$ — точный корень уравнения. * Вторая точка пересечения находится на интервале $x \in (2; 3)$, так как: при $x = 2$: $\sqrt{2+1} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$, а $(2-1)^2 = 1$ (график корня выше параболы); при $x = 3$: $\sqrt{3+1} = 2$, а $(3-1)^2 = 4$ (график корня ниже параболы). По графику абсцисса второй точки пересечения составляет приблизительно $x_2 \approx 2{,}35$ (или $x_2 \approx 2{,}4$). **3. Аналитическое подтверждение числа корней:** Выполним замену переменной $t = x - 1$, тогда $x = t + 1$ (при этом $t \ge -2$): $$ \sqrt{t+2} = t^2 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ t + 2 = t^4 $$ $$ t^4 - t - 2 = 0 $$ Разложим многочлен на множители методом группировки: $$ (t^4 - 1) - (t + 1) = 0 $$ $$ (t - 1)(t + 1)(t^2 + 1) - (t + 1) = 0 $$ $$ (t + 1)\bigl((t - 1)(t^2 + 1) - 1\bigr) = 0 $$ $$ (t + 1)(t^3 - t^2 + t - 2) = 0 $$ Получаем два случая: 1) $t + 1 = 0 \implies t = -1 \implies x = -1 + 1 = 0$. 2) $t^3 - t^2 + t - 2 = 0$. Производная функции $f(t) = t^3 - t^2 + t - 2$ равна $f'(t) = 3t^2 - 2t + 1$. Так как её дискриминант $D = 4 - 12 = -8 < 0$, то $f'(t) > 0$ при всех $t \in \mathbb{R}$. Функция строго возрастает на всей числовой оси, а значит, имеет ровно один действительный корень. Поскольку $f(1) = -1 < 0$, а $f(2) = 4 > 0$, этот корень лежит в интервале $(1; 2)$, откуда $x = t + 1 \in (2; 3)$ ($x \approx 2{,}35$). Таким образом, уравнение имеет ровно два корня. Ответ: $x_1 = 0$; $x_2 \approx 2{,}4$ (уравнение имеет 2 корня).