ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 9 / вариант 1 - 20

20. Решим иррациональное уравнение: $$ x + \sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1 $$ Изолируем корень в левой части уравнения: $$ \sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1 - x $$ Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 2x^2 - 7x + 5 = (1 - x)^2 \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение системы, раскрыв квадрат разности: $$ 2x^2 - 7x + 5 = 1 - 2x + x^2 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные члены: $$ 2x^2 - x^2 - 7x + 2x + 5 - 1 = 0 $$ $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$ Найдем корни полученного квадратного уравнения по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = 4 \end{cases} $$ Отсюда: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. Проверим найденные значения по условию $1 - x \ge 0$ (то есть $x \le 1$): - При $x = 1$: $1 \le 1$ — условие выполняется; - При $x = 4$: $4 \le 1$ — неверно, следовательно, $x = 4$ является посторонним корнем. Проверка корня $x = 1$ подстановкой в исходное уравнение: $$ 1 + \sqrt{2 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 5} = 1 + \sqrt{2 - 7 + 5} = 1 + \sqrt{0} = 1 $$ $$ 1 = 1 \quad \text{— верно.} $$ Ответ: $1$.