ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 8 / вариант 2 - 3

Рассмотрим уравнения: 1) $9 - x^2 = 0$ 2) $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = 0$ Выясним, равносильны ли эти уравнения, найдя множества их корней. --- ### Решение 1. Решим первое уравнение: $$ 9 - x^2 = 0 $$ Перенесём свободный член в правую часть: $$ x^2 = 9 $$ $$ x = \pm 3 $$ Множество корней первого уравнения: $\{-3; 3\}$. --- 2. Решим второе уравнение: $$ \frac{x^2 - 9}{x + 3} = 0 $$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель имеет смысл и отличен от нуля: $$ \begin{cases} x^2 - 9 = 0, \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения системы получаем: $$ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3 $$ Из второго условия: $$ x \neq -3 $$ Значение $x = -3$ является посторонним корнем, так как обращает знаменатель дроби в ноль. Следовательно, единственным корнем уравнения является $x = 3$. Множество корней второго уравнения: $\{3\}$. --- 3. Сравним множества решений: Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и то же множество корней. Поскольку первое уравнение имеет два корня ($x = -3$ и $x = 3$), а второе — только один корень ($x = 3$), их множества корней не совпадают. **Ответ:** Корни первого уравнения: $x = -3$, $x = 3$. Корень второго уравнения: $x = 3$. Уравнения не равносильны.