ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 8 / вариант 1 - 17

Решим каждое из данных неравенств и выясним, совпадают ли их множества решений (являются ли неравенства равносильными). 1) Решим первое неравенство: $$ \frac{2x^2 + 1}{x - 2} > 1 $$ Перенесем единицу в левую часть и приведем дробь к общему знаменателю: $$ \frac{2x^2 + 1}{x - 2} - 1 > 0 $$ $$ \frac{2x^2 + 1 - (x - 2)}{x - 2} > 0 $$ $$ \frac{2x^2 - x + 3}{x - 2} > 0 $$ Исследуем числитель $2x^2 - x + 3$: Найдем его дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23 $$ Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a = 2 > 0$), квадратный трехчлен $2x^2 - x + 3 > 0$ при всех действительных значениях $x$. Поскольку числитель строго положителен при любых $x$, знак всей дроби зависит только от знака знаменателя: $$ x - 2 > 0 \iff x > 2 $$ Множество решений первого неравенства: $x \in (2; +\infty)$. --- 2) Решим второе неравенство: $$ 2x^2 + 1 > x - 2 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ 2x^2 - x + 3 > 0 $$ Как было показано выше, для квадратного трехчлена $2x^2 - x + 3$ дискриминант $D = -23 < 0$, а старший коэффициент равен $2 > 0$. Следовательно, ветви параболы направлены вверх, и она целиком лежит выше оси абсцисс. Значит, неравенство верно при всех действительных $x$. Множество решений второго неравенства: $x \in (-\infty; +\infty)$. --- **Вывод:** Множества решений неравенств не совпадают: $(2; +\infty) \ne (-\infty; +\infty)$. Следовательно, данные неравенства **не равносильны**. *(Если требовалось найти объединение решений неравенств, связанных союзом «или», то решением совокупности является $(2; +\infty) \cup (-\infty; +\infty) = (-\infty; +\infty)$).* **Ответ:** неравенства не равносильны (решение первого: $x \in (2; +\infty)$, решение второго: $x \in (-\infty; +\infty)$).