ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 8 / вариант 1 - 16

**16. (5)** Выясним, являются ли равносильными неравенства $\frac{2x}{x+1} < 0$ и $2x < x+1$. По определению, два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. 1. Решим первое неравенство: $$\frac{2x}{x+1} < 0$$ Разделим обе части неравенства на $2$: $$\frac{x}{x+1} < 0$$ Применим метод интервалов: * Нуль числителя: $x = 0$. * Нуль знаменателя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Точки $x = -1$ и $x = 0$ не входят в решение (неравенство строгое) и разбивают числовую ось на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; +\infty)$. Определим знаки дроби $\frac{x}{x+1}$ на интервалах: * при $x \in (0; +\infty)$: дробь положительна ($+$); * при $x \in (-1; 0)$: дробь отрицательна ($-$), условие выполняется; * при $x \in (-\infty; -1)$: дробь положительна ($+$). Множество решений первого неравенства: $$x \in (-1; 0)$$ 2. Решим второе неравенство: $$2x < x + 1$$ Перенесём слагаемое $x$ в левую часть: $$2x - x < 1$$ $$x < 1$$ Множество решений второго неравенства: $$x \in (-\infty; 1)$$ 3. Сравним множества решений: Множество решений первого неравенства $(-1; 0)$ не совпадает с множеством решений второго неравенства $(-\infty; 1)$. Следовательно, данные неравенства не равносильны. *(Примечание: если требовалось найти общее решение этих неравенств как системы, то их пересечением является $(-1; 0) \cap (-\infty; 1) = (-1; 0)$).* **Ответ:** неравенства не равносильны.