ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 9

Исследуем свойства функции $y = x^{-9}$ и опишем её график. Запишем функцию в виде: $$ y = \frac{1}{x^9} $$ Это степенная функция с отрицательным нечётным показателем степени. ### 1. Свойства функции: 1. **Область определения:** Знаменатель дроби не может быть равен нулю ($x \neq 0$): $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 2. **Множество значений:** Дробь $\frac{1}{x^9}$ не обращается в ноль ни при каких значениях $x$: $$ E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 3. **Чётность / нечётность:** Проверим выполнение условия $y(-x) = -y(x)$: $$ y(-x) = (-x)^{-9} = \frac{1}{(-x)^9} = -\frac{1}{x^9} = -y(x) $$ Функция является **нечётной**. Её график симметричен относительно начала координат — точки $(0; 0)$. 4. **Нули функции и промежутки знакопостоянства:** - График не пересекает ось $Ox$ (уравнение $x^{-9} = 0$ не имеет решений) и ось $Oy$ (точка $x = 0$ не входит в область определения). - $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; - $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. 5. **Монотонность:** - На промежутке $(-\infty; 0)$ функция убывает. - На промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает. 6. **Асимптоты графика:** - Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось ординат), так как при $x \to 0$ значения $|y| \to +\infty$. - Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось абсцисс), так как при $x \to \pm\infty$ значения $y \to 0$. --- ### 2. Построение графика: Составим таблицу значений для контрольных точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-\frac{1}{512}$ | $-1$ | $-512$ | $512$ | $1$ | $\frac{1}{512}$ | **Особенности графика:** - График состоит из двух раздельных ветвей (кривая гиперболического типа), расположенных в I и III координатных четвертях. - При $|x| > 1$ ветви графика прижимаются к оси $Ox$ значительно быстрее, чем у гиперболы $y = \frac{1}{x}$. - При приближении к нулю ($|x| < 1$) ветви графика круто уходят вдоль оси $Oy$ в $+\infty$ (справа от нуля) и в $-\infty$ (слева от нуля).