ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 12

Дано равенство: $$4^{y} = x^{-3\pi}$$ Так как показатель степени $-3\pi$ — действительное иррациональное число, степень с действительным показателем $x^{-3\pi}$ определена при $x > 0$. При этом $4^y > 0$ для любого действительного $y$. **1. Выразим переменную $x$ через переменную $y$:** Возведём обе части равенства в степень $-\frac{1}{3\pi}$: $$\left(x^{-3\pi}\right)^{-\frac{1}{3\pi}} = \left(4^y\right)^{-\frac{1}{3\pi}}$$ Используя свойство степени $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $$x = 4^{-\frac{y}{3\pi}}$$ Представим основание $4$ как $2^2$: $$x = \left(2^2\right)^{-\frac{y}{3\pi}} = 2^{-\frac{2y}{3\pi}}$$ --- **2. Выразим переменную $y$ через переменную $x$:** Прологарифмируем обе части исходного равенства по основанию 4 (при $x > 0$): $$\log_4\left(4^y\right) = \log_4\left(x^{-3\pi}\right)$$ $$y = -3\pi \log_4 x$$ Или, переходя к основанию 2: $$y = -3\pi \cdot \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = -\frac{3\pi}{2}\log_2 x$$ **Ответ:** $x = 4^{-\frac{y}{3\pi}} = 2^{-\frac{2y}{3\pi}}$ (или $y = -3\pi \log_4 x = -\frac{3\pi}{2}\log_2 x$ при $x > 0$).