ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 10

Рассматривается степенная функция с отрицательным четным показателем: $$y = x^{-20} = \frac{1}{x^{20}}$$ ### Свойства функции $y = x^{-20}$ 1. **Область определения** Выражение $\frac{1}{x^{20}}$ имеет смысл при всех $x \neq 0$: $$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$ 2. **Четность / нечетность** Область определения симметрична относительно начала координат. Проверим значение функции от $-x$: $$y(-x) = (-x)^{-20} = \frac{1}{(-x)^{20}} = \frac{1}{x^{20}} = y(x)$$ Так как $y(-x) = y(x)$, функция является **четной**. Её график симметричен относительно оси ординат ($Oy$). 3. **Множество значений** При любом $x \neq 0$ значение $x^{20} > 0$, следовательно, $\frac{1}{x^{20}} > 0$. При $x \to 0$ значения неограниченно возрастают ($y \to +\infty$), а при $|x| \to +\infty$ стремятся к нулю ($y \to 0$): $$E(y) = (0; +\infty)$$ 4. **Нули функции и промежутки знакопостоянства** Дробь $\frac{1}{x^{20}}$ не обращается в ноль ни при каких $x$, поэтому нулей у функции нет. Функция принимает положительные значения ($y > 0$) на всей области определения: при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 5. **Промежутки монотонности** - На промежутке $(-\infty; 0)$ функция **возрастает**: если $x_1 < x_2 < 0$, то $x_1^{20} > x_2^{20} > 0$, откуда $\frac{1}{x_1^{20}} < \frac{1}{x_2^{20}}$. - На промежутке $(0; +\infty)$ функция **убывает**: если $0 < x_1 < x_2$, то $0 < x_1^{20} < x_2^{20}$, откуда $\frac{1}{x_1^{20}} > \frac{1}{x_2^{20}}$. 6. **Производная функции** $$y' = (x^{-20})' = -20x^{-21} = -\frac{20}{x^{21}}$$ - При $x < 0$ имеем $x^{21} < 0$, следовательно, $y' > 0$ (функция возрастает). - При $x > 0$ имеем $x^{21} > 0$, следовательно, $y' < 0$ (функция убывает). 7. **Асимптоты и контрольные точки** - Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось $Oy$). - Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось $Ox$). - График проходит через характерные точки: $(-1; 1)$ и $(1; 1)$. 8. **Схематическое описание графика** График состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях, симметрично относительно оси $Oy$. По форме график аналогичен гиперболе $y = \frac{1}{x^2}$, но при $|x| > 1$ он значительно быстрее прижимается к оси абсцисс, а при $|x| < 1$ круче устремляется вверх вдоль оси ординат. **Ответ:** 1. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ 2. Функция четная (график симметричен относительно оси $Oy$) 3. $E(y) = (0; +\infty)$ 4. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$ 5. Производная: $y' = -\frac{20}{x^{21}}$