ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 5

Для степенной функции $y = x^{-3,5}$ приведем исследование основных свойств и описание графика. Преобразуем показатель степени в обыкновенную дробь: $$y = x^{-3,5} = x^{-\frac{7}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x^7}}$$ ### Свойства функции 1. **Область определения:** По определению степени с нецелым отрицательным показателем основание степени должно быть строго положительным ($x > 0$). $$D(y) = (0; +\infty)$$ 2. **Множество значений:** При $x > 0$ степень $x^{-3,5}$ принимает только положительные значения. При стремлении $x$ к $0$ справа значения функции неограниченно возрастают ($y \to +\infty$), а при $x \to +\infty$ значения функции стремятся к нулю ($y \to 0$). $$E(y) = (0; +\infty)$$ 3. **Чётность / нечётность:** Область определения $(0; +\infty)$ не симметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). 4. **Нули функции и точки пересечения с осями:** - С осью $Ox$: уравнение $x^{-3,5} = 0$ не имеет действительных корней. - С осью $Oy$: значение $x = 0$ не принадлежит области определения. График не пересекает координатные оси. 5. **Промежутки знакопостоянства:** Функция принимает положительные значения ($y > 0$) на всей области определения, то есть при $x \in (0; +\infty)$. 6. **Монотонность:** Так как показатель степени отрицателен ($-3,5 < 0$), функция является строго убывающей на всей области определения, то есть на интервале $(0; +\infty)$. 7. **Характерные точки для построения графика:** - Если $x = 1$, то $y = 1^{-3,5} = 1$ — точка $(1; 1)$; - Если $x = 4$, то $y = 4^{-\frac{7}{2}} = (2^2)^{-\frac{7}{2}} = 2^{-7} = \frac{1}{128}$; - Если $x = \frac{1}{4}$, то $y = \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{7}{2}} = (2^{-2})^{-\frac{7}{2}} = 2^7 = 128$. 8. **Асимптоты и геометрический вид:** График целиком расположен в I координатной четверти. Прямые $x = 0$ (ось $Oy$) и $y = 0$ (ось $Ox$) являются асимптотами графика (вертикальной и горизонтальной соответственно). По форме кривая напоминает ветвь гиперболы, круто уходящую вверх при приближении к оси $Oy$ и прижимающуюся к оси $Ox$ при росте $x$. **Ответ:** - $D(y) = (0; +\infty)$; - $E(y) = (0; +\infty)$; - функция строго убывает на интервале $(0; +\infty)$; - график лежит в I четверти, проходит через точку $(1; 1)$ и имеет асимптоты $x = 0$, $y = 0$.