ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 3

Исследуем свойства функции $y = x^{-8}$ и опишем её график. Запишем функцию в виде: $$ y = \frac{1}{x^8} $$ ### Свойства функции $y = x^{-8}$: 1. **Область определения:** Выражение определено при всех действительных $x$, кроме нуля, так как деление на ноль невозможно. $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 2. **Множество значений:** Так как для любого $x \ne 0$ выполняется $x^8 > 0$, то $\frac{1}{x^8} > 0$. $$ E(y) = (0; +\infty) $$ 3. **Чётность:** Проверим выполнение условия $f(-x) = f(x)$: $$ f(-x) = (-x)^{-8} = \frac{1}{(-x)^8} = \frac{1}{x^8} = f(x) $$ Функция является чётной, следовательно, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 4. **Нули функции и точки пересечения с осями координат:** * Уравнение $x^{-8} = 0$ решений не имеет, значит, график не пересекает ось абсцисс ($Ox$). * Значение $x = 0$ не входит в область определения, поэтому график не пересекает ось ординат ($Oy$). 5. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 6. **Промежутки монотонности:** * Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$. * Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$. 7. **Экстремумы:** Функция не имеет точек экстремума (наибольшего и наименьшего значений нет). 8. **Асимптоты и характерные точки:** * Прямая $x = 0$ (ось $Oy$) — вертикальная асимптота: при $x \to 0$ значения $y \to +\infty$. * Прямая $y = 0$ (ось $Ox$) — горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$ значения $y \to 0$. * График проходит через контрольные точки: $(1; 1)$, $(-1; 1)$, $\left(2; \frac{1}{256}\right)$, $\left(-2; \frac{1}{256}\right)$, $\left(\frac{1}{2}; 256\right)$, $\left(-\frac{1}{2}; 256\right)$. ### Схематический вид графика: График состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях, симметричен относительно оси ординат, неограниченно приближается к осям координат, не пересекая их.