ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 14

Дана функция: $$ y = \sqrt[9]{x} $$ Рассмотрим свойства данной функции и найдем её основные характеристики. **1. Область определения функции** Показатель степени корня $n = 9$ является нечётным натуральным числом. Корень нечётной степени определён для любого действительного числа (как положительного, так и отрицательного, а также для нуля). Следовательно, подкоренное выражение $x$ может принимать любые действительные значения: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) \quad \text{или} \quad x \in \mathbb{R} $$ **2. Множество значений функции** При изменении $x$ от $-\infty$ до $+\infty$ значения корня нечётной степени также принимают любые действительные значения: $$ E(y) = (-\infty; +\infty) \quad \text{или} \quad y \in \mathbb{R} $$ **3. Исследование на чётность и нечётность** Область определения функции $D(y) = \mathbb{R}$ симметрична относительно начала координат. Вычислим значение функции от противоположного аргумента, используя свойство корня нечётной степени $\sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{a}$: $$ y(-x) = \sqrt[9]{-x} = -\sqrt[9]{x} = -y(x) $$ Так как выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является **нечётной**. График функции симметричен относительно начала координат — точки $(0; 0)$. **4. Промежутки монотонности и нули функции** * Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$. График пересекает оси координат в точке $(0; 0)$. * Знак функции: * $y > 0$ при $x > 0$; * $y < 0$ при $x < 0$. * Монотонность: функция $y = \sqrt[9]{x}$ строго возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$. **5. Особенности графика** График функции проходит через точки $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$. По форме кривая схожа с графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$, но при $|x| > 1$ ветви графика сильнее прижимаются к оси абсцисс $Ox$, а при $|x| < 1$ график круче возрастает вблизи оси ординат $Oy$. **Ответ:** * Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ * Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ * Функция нечётная, строго возрастающая на $\mathbb{R}$