ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 15

15. $\boxed{4}$ Требуется исследовать свойства функции $y = \sqrt[6]{x}$ и построить её график. ### 1. Свойства функции 1. **Область определения функции $D(y)$:** Показатель корня равен $6$ — чётное натуральное число, поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным: $$ x \ge 0 $$ Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$. 2. **Множество значений функции $E(y)$:** По определению арифметического корня чётной степени значение корня неотрицательно: $$ E(y) = [0; +\infty) $$ 3. **Чётность / нечётность:** Область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). 4. **Нули функции и пересечение с осями:** $y = 0$ при $\sqrt[6]{x} = 0 \iff x = 0$. График пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0; 0)$. 5. **Промежутки знакопостоянства:** $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$. 6. **Монотонность:** Функция строго возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $[0; +\infty)$: если $0 \le x_1 < x_2$, то $\sqrt[6]{x_1} < \sqrt[6]{x_2}$. 7. **Наибольшее и наименьшее значения:** Наименьшее значение функции достигается в точке $x = 0$ и равно $y_{\min} = 0$. Наибольшего значения функция не имеет. --- ### 2. Построение графика Для построения графика найдём координаты нескольких контрольных точек: | $x$ | $0$ | $\frac{1}{64}$ | $1$ | $64$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | **Геометрическое описание графика:** График расположен в I координатной четверти. Он представляет собой плавную кривую (ветвь), которая берет начало в точке $(0; 0)$, проходит через точку $(1; 1)$ и уходит вправо вверх, непрерывно возрастая (при этом скорость роста графика с увеличением $x$ постепенно замедляется). --- **Ответ:** - Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$; - Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$; - Функция возрастает на $[0; +\infty)$; - График проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$.