ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / КР-1 / вариант 1 - 3

1) Упростим выражение: $$a^{4 + \sqrt{5}} \cdot \left(\frac{1}{a^{\sqrt{5} - 1}}\right)^{\sqrt{5} + 1}$$ Применим свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$: $$\left(\frac{1}{a^{\sqrt{5} - 1}}\right)^{\sqrt{5} + 1} = \left(a^{-(\sqrt{5} - 1)}\right)^{\sqrt{5} + 1}$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$\left(a^{-(\sqrt{5} - 1)}\right)^{\sqrt{5} + 1} = a^{-(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}$$ Воспользуемся формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$: $$-(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) = -\left((\sqrt{5})^2 - 1^2\right) = -(5 - 1) = -4$$ Подставим полученный результат в исходное произведение и применим правило умножения степеней с одинаковыми основаниями: $$a^{4 + \sqrt{5}} \cdot a^{-4} = a^{4 + \sqrt{5} - 4} = a^{\sqrt{5}}$$ 2) Упростим выражение: $$\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}} - \sqrt[3]{b}$$ Так как $a > 0$ и $b > 0$, то по свойству корня степени $n$ произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$. Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{a}$ в числителе дроби: $$\frac{\sqrt[3]{a} \cdot (1 + \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a}} - \sqrt[3]{b}$$ Сократим дробь на $\sqrt[3]{a} \neq 0$: $$1 + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{b} = 1$$ **Ответ:** 1) $a^{\sqrt{5}}$ 2) $1$