ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 5 / вариант 2 - 45

Перепишем исходное выражение, используя знак квадратного корня: $$ \frac{\sqrt{m + x} + \sqrt{m - x}}{\sqrt{m + x} - \sqrt{m - x}} $$ 1. Подставим выражение $x = \frac{2mn}{n^2 + 1}$ в подкоренные выражения: $$ m + x = m + \frac{2mn}{n^2 + 1} = \frac{m(n^2 + 1) + 2mn}{n^2 + 1} = \frac{m(n^2 + 2n + 1)}{n^2 + 1} = \frac{m(n + 1)^2}{n^2 + 1} $$ $$ m - x = m - \frac{2mn}{n^2 + 1} = \frac{m(n^2 + 1) - 2mn}{n^2 + 1} = \frac{m(n^2 - 2n + 1)}{n^2 + 1} = \frac{m(n - 1)^2}{n^2 + 1} $$ 2. Извлечем квадратные корни из полученных выражений. Так как по условию $m > 0$ и $0 < n < 1$, имеем: - $n + 1 > 0$, следовательно, $|n + 1| = n + 1$; - $n - 1 < 0$, следовательно, $|n - 1| = -(n - 1) = 1 - n$. Тогда: $$ \sqrt{m + x} = \sqrt{\frac{m(n + 1)^2}{n^2 + 1}} = \frac{\sqrt{m}\cdot |n + 1|}{\sqrt{n^2 + 1}} = \frac{\sqrt{m}(n + 1)}{\sqrt{n^2 + 1}} $$ $$ \sqrt{m - x} = \sqrt{\frac{m(n - 1)^2}{n^2 + 1}} = \frac{\sqrt{m}\cdot |n - 1|}{\sqrt{n^2 + 1}} = \frac{\sqrt{m}(1 - n)}{\sqrt{n^2 + 1}} $$ 3. Подставим найденные значения корней в исходную дробь: $$ \frac{\sqrt{m + x} + \sqrt{m - x}}{\sqrt{m + x} - \sqrt{m - x}} = \frac{\frac{\sqrt{m}(n + 1)}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{\sqrt{m}(1 - n)}{\sqrt{n^2 + 1}}}{\frac{\sqrt{m}(n + 1)}{\sqrt{n^2 + 1}} - \frac{\sqrt{m}(1 - n)}{\sqrt{n^2 + 1}}} $$ Сократим числитель и знаменатель дроби на общий положительный множитель $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n^2 + 1}}$: $$ \frac{(n + 1) + (1 - n)}{(n + 1) - (1 - n)} = \frac{n + 1 + 1 - n}{n + 1 - 1 + n} = \frac{2}{2n} = \frac{1}{n} $$ Ответ: $\frac{1}{n}$