ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / КР-1 / вариант 1 - 6

6. Выполним упрощение выражения по действиям с соблюдением порядка арифметических операций (сначала умножение в скобках, затем вычитание, после чего умножение на дробь вне скобок). 1) Выполним умножение дробей внутри скобок: $$ \frac{1}{a^2 - 2} \cdot \frac{a^2 + 1}{a^2} = \frac{a^2 + 1}{a^2(a^2 - 2)} $$ 2) Выполним вычитание полученных дробей в скобках: $$ \frac{1}{a^2 + 2} - \frac{a^2 + 1}{a^2(a^2 - 2)} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $a^2(a^2 + 2)(a^2 - 2)$: $$ \frac{a^2(a^2 - 2) - (a^2 + 1)(a^2 + 2)}{a^2(a^2 + 2)(a^2 - 2)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ a^2(a^2 - 2) = a^4 - 2a^2 $$ $$ (a^2 + 1)(a^2 + 2) = a^4 + 2a^2 + a^2 + 2 = a^4 + 3a^2 + 2 $$ Тогда числитель равен: $$ (a^4 - 2a^2) - (a^4 + 3a^2 + 2) = a^4 - 2a^2 - a^4 - 3a^2 - 2 = -5a^2 - 2 = -(5a^2 + 2) $$ Свернем произведение в знаменателе по формуле разности квадратов $(a^2 + 2)(a^2 - 2) = a^4 - 4$: $$ \frac{-(5a^2 + 2)}{a^2(a^4 - 4)} $$ 3) Умножим результат на $\frac{1}{a^2}$: $$ -\frac{5a^2 + 2}{a^2(a^4 - 4)} \cdot \frac{1}{a^2} = -\frac{5a^2 + 2}{a^4(a^4 - 4)} = \frac{5a^2 + 2}{a^4(4 - a^4)} $$ Ответ: $-\frac{5a^2 + 2}{a^4(a^4 - 4)}$ (или $\frac{5a^2 + 2}{a^4(4 - a^4)}$).