ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 41

41. Докажем тождество $$ \sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $$ при заданных условиях $a > 0$, $b > 0$, $a^2 - b > 0$. 1. Обозначим левую и правую части тождества: $$ L = \sqrt{a - \sqrt{b}}, \quad R = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $$ 2. Определим знаки выражений $L$ и $R$: - Так как $a > 0$ и $a^2 - b > 0$, то $a^2 > b$, откуда $a > \sqrt{b}$, следовательно, $a - \sqrt{b} > 0$. Значит, выражение под знаком корня в левой части положительно, и $L > 0$. - Так как $a^2 - b < a^2$, то $\sqrt{a^2 - b} < a$, следовательно, $a - \sqrt{a^2 - b} > 0$ и $a + \sqrt{a^2 - b} > 0$. Значит, подкоренные выражения в правой части существуют и положительны. - Так как $a + \sqrt{a^2 - b} > a - \sqrt{a^2 - b} > 0$, то: $$ \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} > \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $$ откуда получаем, что разность $R > 0$. 3. Так как обе части равенства положительны ($L > 0$ и $R > 0$), равенство $L = R$ равносильно равенству их квадратов $L^2 = R^2$. Вычислим квадрат левой части: $$ L^2 = \left(\sqrt{a - \sqrt{b}}\right)^2 = a - \sqrt{b} $$ Вычислим квадрат правой части, применив формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $$ R^2 = \left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}\right)^2 = $$ $$ = \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} - 2\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} \cdot \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} $$ Сложим первое и третье слагаемые: $$ \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{a + \sqrt{a^2 - b} + a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{2a}{2} = a $$ Преобразуем подкоренное выражение среднего слагаемого по формуле разности квадратов: $$ \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} \cdot \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{a^2 - \left(\sqrt{a^2 - b}\right)^2}{4} = \frac{a^2 - (a^2 - b)}{4} = \frac{b}{4} $$ Тогда удвоенное произведение равно: $$ 2\sqrt{\frac{b}{4}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{b}}{2} = \sqrt{b} $$ Объединяя слагаемые, получаем: $$ R^2 = a - \sqrt{b} $$ 4. Так как $L^2 = R^2$ и $L > 0$, $R > 0$, то $L = R$, то есть: $$ \sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $$ Тождество доказано.