ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 40

40. Упростим выражение: $$ (b\sqrt{8b} - a\sqrt{a}) : (2b + \sqrt{2ab} + a) $$ 1. Запишем деление в виде дроби: $$ \frac{b\sqrt{8b} - a\sqrt{a}}{2b + \sqrt{2ab} + a} $$ 2. Преобразуем уменьшаемое и вычитаемое в числителе, представив их в виде кубов: - $b\sqrt{8b} = b \cdot \sqrt{4 \cdot 2b} = 2b\sqrt{2b} = (\sqrt{2b})^3$; - $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$. 3. Заметим, что знаменатель дроби представляет собой неполный квадрат суммы выражений $\sqrt{2b}$ и $\sqrt{a}$: $$ 2b + \sqrt{2ab} + a = (\sqrt{2b})^2 + \sqrt{2b} \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2 $$ 4. Разложим числитель на множители по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = \sqrt{2b}$, $y = \sqrt{a}$: $$ (\sqrt{2b})^3 - (\sqrt{a})^3 = (\sqrt{2b} - \sqrt{a})\left((\sqrt{2b})^2 + \sqrt{2b} \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2\right) = (\sqrt{2b} - \sqrt{a})(2b + \sqrt{2ab} + a) $$ 5. Подставим разложение в дробь и выполним сокращение на общий множитель $(2b + \sqrt{2ab} + a)$: $$ \frac{(\sqrt{2b} - \sqrt{a})(2b + \sqrt{2ab} + a)}{2b + \sqrt{2ab} + a} = \sqrt{2b} - \sqrt{a} $$ Ответ: $\sqrt{2b} - \sqrt{a}$