ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 1 - 37

37. [7] Упростим выражение: $$ \frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} - \frac{a}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} $$ Выражение определено при $a > 0$, $b \ge 0$ и $a \ne b$. 1. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $$ \sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) $$ 2. Приведём дроби к общему знаменателю $(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) = \sqrt{a} - \sqrt{b}$, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})$: $$ \frac{\sqrt[4]{a^3}(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})}{(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})} - \frac{a}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} $$ 3. Раскроем скобки в числителе первой дроби, используя свойство корней $\sqrt[4]{a^3} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{a^4} = a$: $$ \frac{\sqrt[4]{a^4} - \sqrt[4]{a^3 b} - a}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{a - \sqrt[4]{a^3 b} - a}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} $$ 4. Приведём подобные слагаемые в числителе: $$ \frac{-\sqrt[4]{a^3 b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = -\frac{\sqrt[4]{a^3 b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt[4]{a^3 b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} $$ Ответ: $-\frac{\sqrt[4]{a^3 b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ (или $\frac{\sqrt[4]{a^3 b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}$).