ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 1 - 40

40. Упростим заданное выражение: $$ (\sqrt[3]{a^2b} - \sqrt[3]{16ab^2} + \sqrt[3]{4b^3}) : (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{2b}) $$ 1. Преобразуем выражение в первой скобке (делимое). Вынесем из каждого подкоренного выражения множитель $b$: $$ \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{b} \cdot (\sqrt[3]{a})^2 $$ $$ \sqrt[3]{16ab^2} = \sqrt[3]{8 \cdot 2ab \cdot b} = 2\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{2ab} = 2\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{2b} $$ $$ \sqrt[3]{4b^3} = \sqrt[3]{b \cdot 4b^2} = \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{(2b)^2} = \sqrt[3]{b} \cdot (\sqrt[3]{2b})^2 $$ 2. Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{b}$ за скобки: $$ \sqrt[3]{a^2b} - \sqrt[3]{16ab^2} + \sqrt[3]{4b^3} = \sqrt[3]{b} \cdot \left((\sqrt[3]{a})^2 - 2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{2b} + (\sqrt[3]{2b})^2\right) $$ 3. Применим формулу квадрата разности $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$ для $x = \sqrt[3]{a}$ и $y = \sqrt[3]{2b}$: $$ \sqrt[3]{b} \cdot \left((\sqrt[3]{a})^2 - 2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{2b} + (\sqrt[3]{2b})^2\right) = \sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{2b})^2 $$ 4. Выполним деление при условии, что делитель не равен нулю ($a \neq 2b$): $$ \frac{\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{2b})^2}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{2b}} = \sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{2b}) = \sqrt[3]{ab} - \sqrt[3]{2b^2} $$ Ответ: $\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{2b})$ (или $\sqrt[3]{ab} - \sqrt[3]{2b^2}$).