ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 1 - 39

39. 7) Упростим выражение: $$ \left( \sqrt[3]{4a^2} - \sqrt[3]{9b^2} \right) : \left( \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{3b} \right) $$ Представим подкоренные выражения в первой скобке в виде квадратов: $4a^2 = (2a)^2$ и $9b^2 = (3b)^2$. Используя свойство корня $\sqrt[n]{x^k} = \left(\sqrt[n]{x}\right)^k$, перепишем уменьшаемое и вычитаемое: $$ \sqrt[3]{4a^2} = \sqrt[3]{(2a)^2} = \left(\sqrt[3]{2a}\right)^2 $$ $$ \sqrt[3]{9b^2} = \sqrt[3]{(3b)^2} = \left(\sqrt[3]{3b}\right)^2 $$ Разложим первую скобку на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $$ \sqrt[3]{4a^2} - \sqrt[3]{9b^2} = \left(\sqrt[3]{2a}\right)^2 - \left(\sqrt[3]{3b}\right)^2 = \left( \sqrt[3]{2a} - \sqrt[3]{3b} \right)\left( \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{3b} \right) $$ Подставим полученное разложение в исходное выражение и выполним деление (при условии $\sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{3b} \neq 0$): $$ \frac{\left( \sqrt[3]{2a} - \sqrt[3]{3b} \right)\left( \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{3b} \right)}{\sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{3b}} = \sqrt[3]{2a} - \sqrt[3]{3b} $$ Ответ: $\sqrt[3]{2a} - \sqrt[3]{3b}$