ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 1 - 38

38. Преобразуем данное выражение по действиям. 1. Упростим первую дробь: $$\frac{\sqrt[6]{ab} - \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}$$ Представим подкоренные выражения через корни шестой степени, учитывая, что $a > 0$ и $b > 0$: * в числителе: $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$, а $\sqrt[3]{b} = \sqrt[6]{b^2} = (\sqrt[6]{b})^2$; * в знаменателе: $\sqrt[3]{a} = (\sqrt[6]{a})^2$, а $\sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{b})^2$. Вынесем в числителе общий множитель $\sqrt[6]{b}$ за скобки: $$\sqrt[6]{ab} - \sqrt[3]{b} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} - (\sqrt[6]{b})^2 = \sqrt[6]{b}(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})$$ В знаменателе применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $$\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{a})^2 - (\sqrt[6]{b})^2 = (\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})$$ Подставим полученные разложения в дробь и сократим её на $(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}) \neq 0$ (так как $a \neq b$): $$\frac{\sqrt[6]{ab} - \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[6]{b}(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})}{(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})} = \frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}$$ 2. Выполним деление, заменив его умножением на дробь, обратную делителю: $$7 \cdot \frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} : \frac{\sqrt[6]{ab}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} = 7 \cdot \frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \cdot \frac{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{ab}}$$ 3. Сократим полученное произведение на $(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})$: $$= 7 \cdot \frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{ab}} = 7 \cdot \frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}} = \frac{7}{\sqrt[6]{a}}$$ *(Примечание: если число $7$ перед первой дробью возникло в результате опечатки в условии задачи из дидактических материалов, то значение выражения равно $\frac{1}{\sqrt[6]{a}}$).* Ответ: $\frac{7}{\sqrt[6]{a}}$ (или $\frac{1}{\sqrt[6]{a}}$, если множитель $7$ отсутствует в исходном тексте).